Límites: qué son y cómo calcularlos

¿Qué es el límite de una función?

En el Metro, el andén se llena antes de que abras la puerta. Te importa a qué altura va la fila cuando el tren está por llegar, no el letrero de un metro más allá. Con una función pasa lo mismo. Miras a qué número se arriman los valores de $f(x)$ cuando $x$ se arrima a un número $a$, aunque en $a$ la fórmula se rompa.

La definición intuitiva dice esto: si todos los valores de la función se acercan al número real $L$ a medida que los valores de $x$ se acercan a $a$, entonces la función se acerca a $L$. El límite es ese proceso, y también el valor al que la expresión se acerca. Se escribe

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

La función puede tener un hueco en $a$. El límite no pregunta $f(a)$. Pregunta el alrededor. ¹

En una gráfica, lees la altura a la que tiende la curva. Un punto lleno o un círculo abierto en la recta vertical $x = a$ dice cuánto vale la función ahí, no el límite. Si al acercarte por la izquierda la altura va a un número y por la derecha va a otro, no hay un solo límite. Los conceptos clave del capítulo lo dicen al revés, y sirve igual: si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, el límite de la función es ese valor común. Si el límite en el punto no existe, aun así pueden existir los laterales. ²

Ideas clave

• Acercarse, no evaluar. $\lim_{x \to a} f(x) = L$ cuando los valores de la función se acercan a $L$ mientras $x$ se acerca a $a$. ¹
• Laterales. Si el límite por la izquierda y el de la derecha existen y coinciden, el límite es ese número. Si no coinciden, el límite no existe. ²
• Dos resultados básicos. Para un número real $a$ y una constante $c$, el límite de la constante $c$ cuando $x$ tiende a $a$ es $c$, y el límite de $x$ es $a$. ³
• Leyes. Si los dos límites existen y son números reales, el límite de una suma es la suma de los límites, el de una diferencia es la diferencia, el de un producto es el producto, el de un múltiplo constante $c \cdot f$ es $c$ por el límite de $f$, y el de un cociente es el cociente de los límites cuando el límite del denominador no es cero. La potencia entera positiva y la raíz siguen la misma idea: el límite pasa adentro. ³
• Polinomio. Con esas leyes, un polinomio se puede evaluar en $a$. El límite es el número que sale. ³
• Cociente 0/0. Si al sustituir el denominador no es cero, aplica la ley del cociente. Si numerador y denominador se vuelven cero, la expresión tiene la forma indeterminada 0/0: no es un número, y las leyes no se aplican todavía. Si son polinomios, se factorizan, se cancelan los factores comunes y luego se aplican las leyes. La factorización es el paso de en medio. ⁴

Ejemplos resueltos

Un polinomio en la entrada del examen

Calcula $\lim_{x \to 1} (4x^{2} - x + 2)$.

1. Es un polinomio. Los resultados básicos y las leyes de suma, producto y múltiplo permiten pasar el límite a cada término. ³
2. $\lim_{x \to 1} x = 1$ y el límite de una constante es la constante. Entonces $4(1)^{2} - 1 + 2 = 4 - 1 + 2 = 5$. ³
3. Comprueba el orden: $4 - 1$ es 3, y 3 + 2 es 5. No sumes 4 + 2 antes de restar el término lineal.

Un hueco que se cancela

Calcula $\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$.

1. Si sustituyes $x = 5$ sale $\frac{0}{0}$. Es la forma indeterminada. No digas que el límite es 0 ni que no existe. ⁴
2. $x^{2} - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Para $x \neq 5$ el cociente es igual a $x + 5$. El límite no usa el valor en 5, así que puedes cancelar. ⁴
3. $\lim_{x \to 5} (x + 5) = 10$. La altura a la que se acerca la curva es 10, aunque la fórmula original no esté definida en 5. ³

Leyes con dos límites ya dados

Si $\lim_{x \to 4} f(x) = 2$ y $\lim_{x \to 4} g(x) = -3$, calcula $\lim_{x \to 4} \big(2f(x) - f(x)g(x)\big)$.

1. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites, y el de un producto es el producto. ³
2. $\lim 2f = 2 \cdot 2 = 4$. $\lim (fg) = 2 \cdot (-3) = -6$. ³
3. $4 - (-6) = 10$. El signo del segundo límite se resta como número negativo: restar $-6$ suma 6.

Errores comunes

Si al sustituir sale $\frac{0}{0}$, no marques 0 ni "no existe" por reflejo. Esa escritura no es el resultado: es la señal de que hay que factorizar y cancelar antes de usar las leyes. ⁴

Si la gráfica trae un punto lleno en otra altura, no leas ese punto como límite. El punto es $f(a)$. El límite es la altura de la curva al acercarse. Solo coinciden cuando la función no se interrumpe, y eso es otro tema. ¹

Si los dos lados van a alturas distintas, no promedies. El límite existe solo cuando esos laterales existen y son el mismo número. ²

En una combinación como $2f - fg$, multiplica primero y resta después. Cambiar el signo de $g$ antes de multiplicar por $f$ invierte el producto.

Cómo lo pregunta el examen

La forma directa trae un límite y cuatro números. Sustituye. Si el resultado es un número y el denominador no se hizo cero, ese número es el límite. Si sale 0/0, factoriza. El factor que se anula en el punto es el que se cancela. ^{3 4}

En una gráfica, ignora el punto aislado y sigue la curva desde los dos lados. Si las dos alturas coinciden, esa es la opción, aunque $f(a)$ sea otro valor o no exista. Si no coinciden, la opción es que no existe. ²

Cuando ya te dan $\lim f$ y $\lim g$, no busques las fórmulas. Arma la misma combinación con los dos números: múltiplo, producto y resta. ³

Resumen

• El límite es a qué número se acerca la función, no el valor en el punto.
• Laterales iguales: ese es el límite. Laterales distintos: no existe.
• En un polinomio sustituye. En un cociente, sustituye solo si el denominador no se anula.
• Si sale 0/0, factoriza, cancela y vuelve a sustituir.
• Suma, resta, producto y múltiplo pasan adentro del límite cuando los límites existen.