Traslación de ejes

¿Qué pasa con la ecuación si el origen se va al centro?

El portal estudia la elipse cuyo centro no es el origen. Pone el centro en un punto $C(h, k)$ y el eje mayor paralelo al eje horizontal. Sobre unos ejes auxiliares, con origen en ese centro, la ecuación canónica no lleva a $h$ ni a $k$: el cuadrado de la abscisa auxiliar entre $a^2$, más el cuadrado de la ordenada auxiliar entre $b^2$, da 1. Esos ejes auxiliares los llama $u$ y $v$. Los ejes del plano, los de siempre, los llama $x$ y $y$. ¹

Las dos lecturas de un mismo punto se relacionan por segmentos. El portal escribe $h + u = x$, y de ahí $u = x - h$. También escribe $k + v = y$, y de ahí $v = y - k$. O sea: para pasar de las coordenadas del plano a las coordenadas medidas desde el centro, restas la abscisa del centro y restas la ordenada del centro. Al revés, la abscisa del plano es la del centro más la abscisa nueva, y lo mismo con la ordenada. ¹

Esas dos restas se sustituyen en la ecuación canónica. Donde iba $u$ queda $x - h$, y donde iba $v$ queda $y - k$. El resultado es la forma estándar con centro $C(h, k)$ y eje mayor paralelo al eje horizontal. El portal no le cambia el nombre a la curva: es la misma elipse, escrita en los ejes de origen. En estas fichas, cuando un enunciado pide coordenadas nuevas $x'$ y $y'$, $x'$ es la $u$ de ese texto y $y'$ es la $v$. ¹

La resta conserva las diferencias. Si dos puntos tienen abscisas $x_1$ y $x_2$, sus abscisas nuevas son $x_1 - h$ y $x_2 - h$. Al restarlas, $h$ se cancela, así que la diferencia en los ejes nuevos es la misma que en los viejos. Con la ordenada pasa igual, porque las dos restan $k$. Por eso las distancias entre puntos, medidas en horizontal o en vertical, no dependen de dónde hayas puesto el origen. ¹

Si el eje mayor queda vertical, el portal arma otro dibujo. Ahí la relación que anota es $x - h = v$ y $u = y - k$: la medida larga, la que en la canónica iba con $u$, ahora corre sobre $y$. Al sustituir, el binomio de $y$ queda en el denominador del semieje mayor. No uses esa versión cuando el eje mayor es horizontal, porque ahí $u$ corre sobre $x$. El nombre de la curva, antes de trasladar, se decide con los coeficientes. ¹

A veces el centro no viene dado y la ecuación llega desarrollada. Para una circunferencia, el paso está en la sección que relaciona la forma general con la ordinaria. Se agrupan los términos con $x$ y, aparte, los términos con $y$. El término independiente se pasa al otro lado. Cada grupo se completa hasta un trinomio cuadrado perfecto: el término que falta es el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, y ese mismo número se suma al otro lado. Al factorizar, queda un binomio al cuadrado por cada variable, igualado al radio al cuadrado. El centro se lee en esos binomios, con el signo cambiado, y el radio es la raíz positiva del otro miembro. Hecho eso, el origen nuevo se coloca en ese centro y la ecuación queda en $u$ y $v$ sin binomios. El mismo centro, leído de otra manera, está en la ficha del radio. ²

Ideas clave

• Origen nuevo. El centro $C(h, k)$ es el origen de los ejes $u$ y $v$. En el plano, ese punto sigue siendo $(h, k)$. ¹
• Fórmulas. $u = x - h$ y $v = y - k$. Equivale a $x = h + u$ y $y = k + v$. ¹
• Sustitución. En la canónica del centro en el origen, $u$ se cambia por $x - h$ y $v$ por $y - k$. ¹
• Eje mayor vertical. Ahí $u = y - k$ y $v = x - h$. La medida larga va con la ordenada. ¹
• Centro escondido. En una circunferencia desarrollada, los trinomios revelan el centro. Trasladar el origen hasta ahí quita los términos de primer grado. ²
• Diferencias. $h$ se cancela al restar dos abscisas nuevas. $k$ se cancela al restar dos ordenadas nuevas. ¹

Ejemplos resueltos

Coordenadas de un punto con el origen en el centro

El centro es $C(1, -2)$ y el punto del plano es $P(6, 3)$. Escribe el punto en los ejes del centro.

1. $u = 6 - 1 = 5$. ¹
2. $v = 3 - (-2) = 5$. ¹
3. En los ejes nuevos el punto es $(5, 5)$. La abscisa del centro es positiva y se resta. La ordenada del centro es negativa, así que restar $-2$ suma 2. ¹

De la canónica al plano

La elipse cumple que el cuadrado de $u$ entre 25, más el cuadrado de $v$ entre 9, da 1. El centro es $C(-4, 1)$ y el eje mayor es horizontal. Escribe la ecuación en $x$ y $y$.

1. Eje mayor horizontal: $u$ corre sobre $x$ y $v$ corre sobre $y$. ¹
2. $u = x - (-4) = x + 4$ y $v = y - 1$. ¹
3. Queda $\frac{(x + 4)^2}{25} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$. El 25 acompaña al binomio de $x$ porque el eje mayor es horizontal. ¹

Leer el centro y luego quitar los términos lineales

Pasa $x^2 + y^2 + 2x - 10y - 10 = 0$ a ejes con origen en el centro.

1. $x^2 + 2x + y^2 - 10y = 10$. ²
2. La mitad de 2 es 1, y $1^2 = 1$. La mitad de $-10$ es $-5$, y $(-5)^2 = 25$. Se suman 1 y 25 a la derecha: $26 + 10 = 36$. ²
3. $(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 36$. El centro es $(-1, 5)$ y el radio es 6. ²
4. Con el origen en ese centro, $u = x + 1$ y $v = y - 5$. La ecuación nueva es $u^2 + v^2 = 36$. ¹

Errores comunes

Sumar $h$ cuando toca restar. Si el centro tiene abscisa 1, la abscisa nueva de un punto es su $x$ menos 1. Sumar 1 mueve el origen para el otro lado. ¹

Olvidar el signo del centro. Si $h = -4$, entonces $x - h = x - (-4) = x + 4$. El binomio $(x + 4)$ no significa que el centro esté en $+4$. ¹

Copiar $u = y - k$ en una elipse horizontal. Esa igualdad es la del dibujo vertical del portal, donde la medida larga va sobre $y$. En el dibujo horizontal, $u = x - h$. ¹

Completar el trinomio solo de un lado. El cuadrado de la mitad del coeficiente lineal se suma también al miembro donde quedó la constante. Si no, el radio al cuadrado sale corto. ²

Cómo lo pregunta el examen

Si dan el origen nuevo $O'(h, k)$ y un punto $(x, y)$, las coordenadas nuevas son $x - h$ y $y - k$. Cuida el signo de $h$ y de $k$ en la resta. ¹

Si dan la ecuación canónica en el origen y dicen que el centro pasa a $C(h, k)$, sustituye $u$ por $x - h$ y $v$ por $y - k$ cuando el eje de $u$ es horizontal. Si el eje largo es vertical, $u$ se sustituye por $y - k$. ¹

Si dan una circunferencia en forma general y piden la ecuación con el origen en el centro, primero completa los dos trinomios, lee el centro y el radio, y después escribe $u^2 + v^2$ igualado a ese radio al cuadrado. ²

Resumen

• $u = x - h$ y $v = y - k$ cuando el origen nuevo es $C(h, k)$ y $u$ corre sobre $x$.
• $x = h + u$ y $y = k + v$ son las mismas relaciones, despejadas hacia el plano.
• Sustituir esas restas pasa la canónica del origen a la ecuación con centro $C(h, k)$.
• Si el eje mayor es vertical, la medida que era $u$ corre sobre $y$.
• En una circunferencia desarrollada, los trinomios dan el centro antes de la traslación.