Cómo identificar una cónica por su ecuación general

¿Cómo se sabe qué cónica es una ecuación de segundo grado?

Una cónica sale de cortar un cono doble con un plano. Si el plano es perpendicular al eje del cono, el corte es una circunferencia. Si el plano atraviesa un solo cono, inclinado y sin ser perpendicular al eje, el corte es una elipse. Si el plano pasa por la parte de arriba o por la de abajo del cono doble, el corte es una parábola. Si el plano corta las dos napas, el corte es una hipérbola. Cuando el plano pasa por el vértice, el corte degenera: puede quedar un punto, una recta o dos rectas que se cruzan. ¹

La forma general junta todos esos casos. Los cuadrados y el producto van primero, $Ax^2 + Bxy + Cy^2$, y después van el resto de los términos, $Dx + Ey + F = 0$. Hace falta que $A$, $B$ y $C$ no sean cero los tres a la vez. El producto $xy$ aparece cuando la cónica está girada respecto de los ejes, y eso ocurre siempre que $B$ no es cero. Si $B$ es cero, los ejes de la cónica quedan horizontales, verticales, o las dos cosas. ¹

Con $B = 0$ y con $A$ y $C$ distintos de cero, la tabla separa tres curvas. Si $A$ y $C$ tienen el mismo signo, no son iguales y su producto es positivo, la gráfica puede ser una elipse. Si $A$ y $C$ son iguales y distintos de cero, y tienen el mismo signo, la gráfica puede ser una circunferencia. Si $A$ y $C$ son distintos de cero y tienen signos opuestos, la gráfica puede ser una hipérbola: el libro la escribe $Ax^2 - Cy^2$ o $-Ax^2 + Cy^2$, con $A$ y $C$ positivos en esa escritura. Si $A$ es cero o $C$ es cero, la gráfica puede ser una parábola: queda un solo cuadrado, el de $x$ o el de $y$. La parábola de la ecuación con vértice fuera del origen es ese caso, ya ordenada. ¹

La frase del libro es "puede ser", no "es seguro". Con otros valores de los coeficientes la ecuación puede no ser una cónica de verdad. Dos cuadrados del mismo signo igualados a cero dan un solo punto: es la circunferencia o la elipse degenerada. Dos cuadrados de signo opuesto igualados a cero dan dos rectas que se cruzan: es la hipérbola degenerada. Si los dos cuadrados son positivos y al sumar 1 siguen igualados a cero, no hay ningún par real que cumpla la ecuación, así que no hay gráfica. La tabla de ejemplos también muestra una recta sola, dos rectas paralelas y una ecuación sin gráfica. Esas filas no se clasifican con el mismo recetario de las cuatro curvas. ¹

El discriminante permite nombrar la curva sin girar los ejes. Al rotar, la ecuación cambia de coeficientes, pero $B^2 - 4AC$ se conserva: vale lo mismo con los coeficientes nuevos. Por eso se llama invariante. La ecuación es una elipse, una parábola o una hipérbola, o un caso degenerado de una de esas tres. Si $B^2 - 4AC$ es menor que cero, es una elipse. Si es cero, es una parábola. Si es mayor que cero, es una hipérbola. Esa lista no dice la palabra circunferencia. Una circunferencia tiene $B = 0$ y $A = C$, así que su discriminante es negativo y la lista la cuenta como elipse. La tabla de $B = 0$ es la que la llama circunferencia. Las dos lecturas están en la misma sección: no se contradicen si dices cuál estás usando. El centro y el radio, cuando ya es circunferencia, se leen en centro y radio. ¹

Si $B$ no es cero y quieres quitar el producto $xy$, el libro gira los ejes un ángulo $\theta$ que cumple $\cot 2\theta = (A - C)/B$. Esta ficha no calcula ese ángulo ni reescribe la ecuación girada. Para decir el tipo basta el signo del discriminante. La elipse ya centrada, sin giro, está en su ecuación ordinaria. ¹

Ideas clave

• Forma general. $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ y luego $Dx + Ey + F = 0$, con $A$, $B$ y $C$ no todos cero. ¹
• Sin producto $xy$. Mismo signo y coeficientes distintos: puede ser elipse. Coeficientes iguales: puede ser circunferencia. Signos opuestos: puede ser hipérbola. Un coeficiente de cuadrado en cero: puede ser parábola. ¹
• Producto $xy$. Si $B$ no es cero, la cónica está girada. El tipo se lee igual con el discriminante, sin buscar el ángulo. ¹
• Discriminante. $B^2 - 4AC$ no cambia al girar. Negativo: elipse. Cero: parábola. Positivo: hipérbola. La circunferencia cae en el caso negativo. ¹
• Degenerados. Dos cuadrados del mismo signo igualados a cero dan un punto. Signos opuestos igualados a cero dan dos rectas que se cruzan. Dos cuadrados positivos más 1, igualados a cero, no tienen gráfica. ¹

Ejemplos resueltos

Coeficientes distintos y del mismo signo

Clasifica $5x^2 + 12y^2 + 10x - 24y - 11 = 0$.

1. No hay producto $xy$, así que $B = 0$. El coeficiente de $x^2$ es 5 y el de $y^2$ es 12. ¹
2. 5 y 12 son distintos de cero, positivos y distintos entre sí. La tabla dice que puede ser una elipse. ¹
3. El discriminante es $0 - 4(5)(12) = -240$, menor que cero. La otra lista también dice elipse. ¹
4. Falta pasar la ecuación a forma ordinaria si quieres saber si es un punto o una elipse con interior. El nombre del criterio ya es elipse. ¹

Los dos coeficientes de los cuadrados coinciden

Clasifica $6x^2 + 6y^2 - 24x + 12 = 0$.

1. $B = 0$, $A = 6$ y $C = 6$. Son iguales y distintos de cero. La tabla de $B = 0$ dice que puede ser una circunferencia. ¹
2. El discriminante es $0 - 4(6)(6) = -144$, menor que cero. Esa lista dice elipse, y no nombra la circunferencia. ¹
3. Las dos respuestas conviven: circunferencia por la tabla, y elipse por el discriminante. En un reactivo que pide el nombre fino, con $A = C$ y sin producto $xy$, el nombre es circunferencia. ¹

Hay un término en xy

Clasifica $x^2 + 4xy + y^2 - 8 = 0$.

1. $A = 1$, $B = 4$ y $C = 1$. Como $B$ no es cero, la curva está girada y la tabla de ejes horizontales no aplica. ¹
2. El discriminante es $4^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$, mayor que cero. ¹
3. La lista del discriminante dice hipérbola. No hace falta despejar $\theta$ para ese nombre. ¹

Errores comunes

Tomar "discriminante positivo" como elipse. El orden del libro es al revés del que a veces se memoriza: menor que cero es elipse, cero es parábola, mayor que cero es hipérbola. ¹

Llamar circunferencia a todo discriminante negativo. El negativo abarca elipse y, dentro de ella, la circunferencia. La circunferencia se separa solo cuando $B = 0$ y los dos coeficientes de los cuadrados son iguales. ¹

Usar la tabla de $B = 0$ cuando sí hay producto $xy$. Esa tabla pide ejes sin giro. Con $B$ distinto de cero el tipo sale del discriminante. ¹

Creer que el mismo signo en los dos cuadrados siempre dibuja una elipse grande. $x^2 + 9y^2 = 0$ solo se cumple en el origen: es un punto, el caso degenerado. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si la ecuación no trae $xy$, lee $A$ y $C$. Iguales: circunferencia. Mismo signo y distintos: elipse. Signos opuestos: hipérbola. Uno de los dos en cero: parábola. Di "puede ser" si todavía no revisaste si degenera. ¹

Si aparece $xy$, calcula $B^2 - 4AC$ y usa el signo. No gires los ejes solo para ponerle nombre. El giro, con $\cot 2\theta = (A - C)/B$, es otro trabajo. ¹

Si $A = C$ y $B = 0$, no marques elipse solo porque el discriminante es negativo. La tabla reserva el nombre circunferencia para ese empate de coeficientes. ¹

Resumen

• La forma general lleva los tres coeficientes $A$, $B$ y $C$, y no pueden ser cero los tres.
• Sin el producto $xy$, comparas $A$ con $C$: empate, mismo signo, signos opuestos o un cero.
• El discriminante $B^2 - 4AC$ no cambia al girar: negativo, cero o positivo.
• La circunferencia es el caso de coeficientes iguales, y el discriminante la cuenta como elipse.
• Un punto, dos rectas o ninguna gráfica son los casos en los que la ecuación degenera.