Ecuación de la elipse

¿Qué ecuación corresponde a esos vértices y focos?

Los nombres de cada pieza, cuando la ecuación ya está escrita, están en vértices, focos y ejes. Aquí el camino es al revés: partes de los puntos y dejas la ecuación igualada a 1. ¹

Primero mira qué coordenada comparten los vértices. Si comparten la ordenada, el eje largo es horizontal. Si comparten la abscisa, es vertical. El centro es el promedio de los dos vértices. La distancia de un vértice al centro es el semieje largo, $a$. La distancia de un foco al centro es $c$. El semieje corto sale de $b^2 = a^2 - c^2$. ¹

Con eje largo horizontal el cuadrado de $a$ divide al binomio de $x$, y el de $b$ divide al de $y$. Con eje largo vertical es al contrario: $a^2$ divide al binomio de $y$. En los dos casos $a > b$ y $a > c$. ¹

Ideas clave

• Orientación. Vértices con la misma ordenada: eje largo horizontal. Vértices con la misma abscisa: eje largo vertical. Los focos repiten esa misma coordenada fija. ¹
• Centro y semieje largo. El centro promedia las coordenadas de los vértices. $a$ es la distancia del centro a un vértice, así que la separación entre vértices es $2a$. ¹
• Semieje corto. $c$ es la distancia del centro a un foco. Luego $b^2 = a^2 - c^2$. No se suma. ¹
• Dónde va cada cuadrado. El cuadrado más grande, $a^2$, divide a la variable del eje largo. El otro, $b^2$, divide a la variable del eje corto. ¹
• Centro fuera del origen. En lugar de $x$ y $y$ se escriben $x - h$ y $y - k$, con $(h, k)$ el centro. ¹
• Forma desarrollada. Completar cuadrados y dividir para dejar 1 a la derecha no cambia la curva. Solo la deja lista para leer $a$, $b$ y el centro. ¹

Ejemplos resueltos

Vértices y focos sobre el eje horizontal

Escribe la ecuación con vértices $(\pm 9, 0)$ y focos $(\pm 7, 0)$.

1. Los cuatro puntos tienen ordenada 0, así que el eje largo es horizontal y el centro es $(0, 0)$. ¹
2. Del centro a un vértice hay 9, luego $a = 9$ y $a^2 = 81$. Del centro a un foco hay 7, luego $c = 7$. ¹
3. $b^2 = 81 - 49 = 32$. Como el eje largo es horizontal, 81 divide a $x^2$ y 32 divide a $y^2$. ¹
4. $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{32} = 1$. ¹

Vértices y focos con el centro fuera del origen

Los vértices son $(4, 0)$ y $(4, 8)$. Los focos son $(4, 2)$ y $(4, 6)$. Escribe la ecuación.

1. La abscisa 4 se repite, así que el eje largo es vertical. El centro promedia las ordenadas 0 y 8: $(4, 4)$. ¹
2. $a = 4$, porque del centro al vértice $(4, 8)$ hay 4. $c = 2$, porque del centro al foco $(4, 6)$ hay 2. ¹
3. $b^2 = 16 - 4 = 12$. El cuadrado grande, 16, divide al binomio de $y$. El 12 divide al de $x$. ¹
4. $\frac{(x - 4)^2}{12} + \frac{(y - 4)^2}{16} = 1$. ¹

De la forma desarrollada a la ordinaria

Pasa $4x^2 + y^2 - 8x + 4y - 8 = 0$ a la forma ordinaria y da el centro.

1. $4x^2 - 8x + y^2 + 4y = 8$. ¹
2. $4(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 8$. Completa: $4(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 8 + 4 + 4$. ¹
3. $4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Divide entre 16: $\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1$. ¹
4. El centro es $(1, -2)$. El denominador mayor está bajo $y$, así que el eje largo es vertical, $a^2 = 16$ y $b^2 = 4$. ¹

Errores comunes

Dividir $a$ entre el eje corto porque $x$ se escribe primero. El cuadrado grande acompaña al eje largo, sea horizontal o vertical. En el segundo ejemplo, 16 va con $y$ aunque $x$ abra la ecuación. ¹

Sumar $c^2$ a $a^2$ para hallar $b^2$. La cuenta es una resta. Si $c$ vale 7 y $a$ vale 9, el cuadrado que falta es $81 - 49$, no $81 + 49$. ¹

Usar la distancia entre los dos focos como si ya fuera $c$. Esa distancia es $2c$. $c$ es solo el tramo del centro a uno de ellos. ¹

Olvidar el signo al leer el centro. En $(y + 2)^2$ la ordenada del centro es $-2$, porque $y - k = y + 2$ implica $k = -2$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si dan vértices y focos, promedia los vértices para el centro, mide $a$ y $c$ desde ese centro y calcula $b^2 = a^2 - c^2$. La coordenada que no cambia te dice si $a^2$ divide a $x$ o a $y$. ¹

Si dan el centro y las longitudes de los ejes, la longitud del eje largo es $2a$ y la del corto es $2b$. Te falta saber la dirección. Sin focos, la orientación tiene que venir en el enunciado: horizontal o vertical. Luego sustituye $h$, $k$, $a^2$ y $b^2$. ¹

Si la ecuación llega desarrollada, agrupa $x$ y $y$, completa cada cuadrado y divide entre el número de la derecha hasta dejar 1. El centro sale de los binomios. El denominador mayor es $a^2$. ¹

Resumen

• El centro es el promedio de los vértices.
• $a$ mide del centro a un vértice. $c$ mide del centro a un foco.
• $b^2$ se obtiene restando $c^2$ de $a^2$.
• $a^2$ divide a la variable del eje largo.
• Con centro $(h, k)$ cada variable se escribe restando esa coordenada.