La hipérbola: vértices, focos y asíntotas

¿Dónde quedan los vértices, los focos y las asíntotas?

En cada punto de las ramas, la resta de las distancias a los focos deja siempre el mismo resultado positivo. En un vértice ese resultado es $2a$, y no cambia al recorrer cualquiera de las dos ramas. Las ramas no se cierran: se alejan del centro y se pegan a dos rectas, las asíntotas, que sí pasan por el centro. ¹

El eje transverso es el segmento que une los vértices y pasa por el centro. Los focos están en la recta que contiene ese eje, más lejos del centro que los vértices. El eje conjugado es perpendicular al transverso y une los covértices. El centro parte los dos ejes por la mitad. Con el centro en el origen, el rectángulo central tiene lados que pasan por los vértices y los covértices. Las asíntotas son las diagonales de ese rectángulo, prolongadas. La ecuación ordinaria se escribe con $a$ y $b$. Esta ficha se queda con ejes horizontales o verticales. ¹

Con el centro en el origen y las ramas abriendo a los lados, la ecuación es

$$x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1$$

El transverso mide $2a$. Cada vértice está en $(\pm a, 0)$. El conjugado mide $2b$ y sus extremos, los covértices, están en $(0, \pm b)$. Más afuera, sobre el mismo eje, cada foco está en $(\pm c, 0)$. Ahí $c^2$ suma $a^2$ y $b^2$. Las asíntotas tienen pendiente $\pm b/a$: $y = \pm (b/a) x$. ¹

Si las ramas abren hacia arriba y hacia abajo, el término que suma es el de $y$:

$$y^2 / a^2 - x^2 / b^2 = 1$$

Ahora cada vértice está en $(0, \pm a)$. Los extremos del conjugado están en $(\pm b, 0)$. Cada foco está en $(0, \pm c)$, otra vez con $c$ mayor que $a$ porque su cuadrado suma los dos denominadores. Las asíntotas son $y = \pm (a/b) x$. ¹

Si el centro no es el origen, $h$ se resta de $x$ y $k$ se resta de $y$. Con ramas a los lados:

$$(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1$$

Cada vértice se corre $a$ en horizontal desde el centro: $(h \pm a, k)$. Los covértices se corren $b$ en vertical: $(h, k \pm b)$. Los focos se corren $c$ en horizontal: $(h \pm c, k)$. Las asíntotas son $y = \pm (b/a)(x - h) + k$. Con ramas arriba y abajo, $a^2$ divide al binomio de $y$ y el de $x$ se resta. Los vértices quedan en $(h, k \pm a)$, los covértices en $(h \pm b, k)$ y los focos en $(h, k \pm c)$. Las asíntotas son $y = \pm (a/b)(x - h) + k$. ¹

Ideas clave

• Definición. El valor absoluto de la resta de distancias a los dos focos es $2a$. Hay dos ramas, separadas, cada una sin límite. ¹
• Ejes. El transverso une los vértices. El conjugado une los covértices y es perpendicular al transverso. El centro parte ambos. ¹
• Origen y ramas a los lados. $x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1$. El vértice derecho es $(a, 0)$ y el izquierdo es $(-a, 0)$. Los covértices suben y bajan hasta $b$. Los focos usan la misma recta, en $(\pm c, 0)$. Pendiente de las asíntotas: $b/a$. ¹
• Origen y ramas arriba y abajo. $y^2 / a^2 - x^2 / b^2 = 1$. Los vértices quedan en el eje vertical. Los covértices quedan en el horizontal. Los focos también van en el vertical, en $(0, \pm c)$. Pendiente de las asíntotas: $a/b$. ¹
• Centro corrido. $h$ se resta dentro de $x$ y $k$ se resta dentro de $y$. El término que suma no cambia de variable por ese corrimiento. Las asíntotas siguen pasando por el centro. ¹
• Focos. El cuadrado de $c$ suma los dos denominadores. Por eso el foco queda fuera del segmento de vértices. ¹

Ejemplos resueltos

Eje transverso horizontal y centro en el origen

De $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$, halla vértices, covértices, focos y asíntotas.

1. El término positivo está en $x$, así que el eje transverso es horizontal. $a^2 = 4$ y $b^2 = 12$. Entonces $a = 2$ y $b = 2\sqrt{3}$. ¹
2. Vértices $(\pm 2, 0)$. Covértices $(0, \pm 2\sqrt{3})$. ¹
3. $c^2 = 4 + 12 = 16$, luego $c = 4$. Focos $(\pm 4, 0)$. Quedan fuera de los vértices. ¹
4. Pendiente $\frac{b}{a} = \sqrt{3}$. Asíntotas $y = \sqrt{3}\, x$ y $y = -\sqrt{3}\, x$. ¹

Eje transverso vertical y centro en el origen

De $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$, lee los mismos elementos.

1. El término positivo está en $y$. $a^2 = 9$, $b^2 = 7$, así que $a = 3$ y $b = \sqrt{7}$. ¹
2. Vértices $(0, \pm 3)$. Covértices $(\pm \sqrt{7}, 0)$. ¹
3. $c^2 = 9 + 7 = 16$, luego $c = 4$. Focos $(0, \pm 4)$. ¹
4. Asíntotas $y = \pm \frac{3}{\sqrt{7}} x$. ¹

Centro fuera del origen

De $\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(y - 3)^2}{5} = 1$, da centro, vértices y focos.

1. Centro $(1, 3)$. Como $x$ está en el término que suma, las ramas abren a los lados. $a = 2$ y $b^2 = 5$. ¹
2. Vértices $(1 \pm 2, 3)$, o sea $(-1, 3)$ y $(3, 3)$. Covértices $\left(1, 3 \pm \sqrt{5}\right)$. ¹
3. $c^2 = 4 + 5 = 9$, luego $c = 3$. Focos $(1 \pm 3, 3)$, o sea $(-2, 3)$ y $(4, 3)$. ¹
4. Asíntotas $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}(x - 1) + 3$. ¹

Errores comunes

Restar los cuadrados para hallar $c$, como si los focos quedaran entre los vértices. Aquí se suman: $c^2 = a^2 + b^2$. Si $a^2 = 4$ y $b^2 = 12$, $c$ vale 4, no un número menor que 2. ¹

Tomar como $a^2$ el denominador del término negativo. $a^2$ es el denominador del término positivo, el del eje transverso. En $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$, $a^2$ es 9 aunque $x$ se escriba después. ¹

Cambiar la pendiente de las asíntotas. Con transverso horizontal la pendiente es $\frac{b}{a}$. Con transverso vertical es $\frac{a}{b}$. No es la misma fracción. ¹

Copiar el número del paréntesis sin mirar el signo de la resta. $x - 1$ deja la abscisa en 1. $y + 4$ es $y - (-4)$, así que la ordenada del centro es $-4$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si la ecuación ya es ordinaria, mira qué término suma. Ese denominador es $a^2$ y te dice el eje transverso. El otro es $b^2$. Saca $c$ con $c^2 = a^2 + b^2$ y escribe vértices, covértices y focos desde el centro. ¹

Las asíntotas salen de la pendiente y del centro. En el origen, $y = \pm \frac{b}{a}x$ o $y = \pm \frac{a}{b}x$, según el eje. Si el centro es $(h, k)$, la misma pendiente multiplica a $(x - h)$ y luego se suma $k$. ¹

Si te piden solo los focos, no hace falta dibujar el rectángulo. Compara denominadores, suma los cuadrados y corre $c$ desde el centro a lo largo del eje transverso. ¹

Resumen

• La hipérbola usa la diferencia de distancias a dos focos, y esa diferencia vale $2a$.
• El eje transverso une vértices. El conjugado une covértices. El centro parte los dos.
• El término positivo de la ecuación es el del eje transverso, y su denominador es $a^2$.
• $c^2 = a^2 + b^2$, así que los focos quedan fuera de los vértices.
• Las asíntotas pasan por el centro. Su pendiente es $\frac{b}{a}$ o $\frac{a}{b}$, según el eje.