Ecuación de la hipérbola

¿Qué ecuación corresponde a esos vértices y focos?

Cuando la ecuación ya está ordinaria, cada pieza se nombra en vértices, focos y asíntotas. En esta ficha el camino va al revés: de los puntos a una ecuación igualada a 1. ¹

Fíjate qué coordenada se repite. Si vértices y focos tienen la misma ordenada, las ramas abren a los lados y el término que suma es el de $x$. Si tienen la misma abscisa, las ramas abren arriba y abajo y el término que suma es el de $y$. Promedia los vértices: ese resultado es el centro. La mitad del tramo entre vértices es $a$. Del centro hasta un foco mides $c$, y $c$ supera a $a$. El denominador que falta sale de $b^2 = c^2 - a^2$. ¹

Ideas clave

• Orientación. Misma ordenada en vértices y focos: transverso horizontal y el binomio de $x$ va con signo más. Misma abscisa: transverso vertical y el binomio de $y$ va con signo más. ¹
• Centro. Promedia los vértices. Entre ellos hay un tramo de longitud $2a$. ¹
• El otro denominador. $c$ mide del centro a un foco. Luego $b^2 = c^2 - a^2$. Esa resta deja el cuadrado del semieje conjugado. ¹
• Dónde va cada cuadrado. $a^2$ divide al término positivo. $b^2$ divide al término que se resta. ¹
• Centro fuera del origen. Se escribe $x - h$ y $y - k$, con $(h, k)$ el centro. El signo más no cambia de variable por ese corrimiento. ¹
• Forma desarrollada. Abrir binomios, o completar cuadrados al revés, no cambia las ramas. Solo cambia la presentación. ¹

Ejemplos resueltos

Vértices y focos sobre el eje horizontal

Escribe la ecuación con vértices $(\pm 4, 0)$ y focos $(\pm 6, 0)$.

1. Los cuatro puntos tienen ordenada 0. El eje transverso es horizontal y el centro es $(0, 0)$. ¹
2. Del centro a un vértice hay 4, luego $a = 4$ y $a^2 = 16$. Del centro a un foco hay 6, luego $c = 6$ y $c^2 = 36$. ¹
3. $b^2 = 36 - 16 = 20$. El 16 divide a $x^2$, que es el término positivo. El 20 divide a $y^2$, que se resta. ¹
4. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$. ¹

Vértices y focos con el centro fuera del origen

Los vértices son $(2, 1)$ y $(2, 9)$. Los focos son $(2, -1)$ y $(2, 11)$. Escribe la ecuación.

1. La abscisa 2 se repite, así que el eje transverso es vertical. El centro es el punto medio: $(2, 5)$. ¹
2. Del centro $(2, 5)$ al vértice $(2, 9)$ hay 4, luego $a = 4$ y $a^2 = 16$. Al foco $(2, 11)$ hay 6, luego $c = 6$. ¹
3. $b^2 = 36 - 16 = 20$. El cuadrado 16 divide al binomio de $y$. El 20 divide al de $x$, que se resta. ¹
4. $\frac{(y - 5)^2}{16} - \frac{(x - 2)^2}{20} = 1$. ¹

De la forma desarrollada a la ordinaria

Pasa $9x^2 - 16y^2 - 90x + 64y + 17 = 0$ a la forma ordinaria y da el centro.

1. $9x^2 - 90x - 16y^2 + 64y = -17$. ¹
2. $9(x^2 - 10x) - 16(y^2 - 4y) = -17$. Completa: $9(x^2 - 10x + 25) - 16(y^2 - 4y + 4) = -17 + 225 - 64$. ¹
3. $9(x - 5)^2 - 16(y - 2)^2 = 144$. Divide entre 144: $\frac{(x - 5)^2}{16} - \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$. ¹
4. El centro es $(5, 2)$. El binomio de $x$ es el que suma, de modo que las ramas abren a los lados, con $a^2 = 16$ y $b^2 = 9$. ¹

Errores comunes

Poner el signo más en $x$ solo porque $x$ se escribe primero. En el segundo ejemplo los vértices comparten la abscisa, así que el signo más va en $y$ aunque la ecuación empiece por $x$ al despejar. ¹

Restar $c^2$ de un número menor. Si el foco está a 6 del centro y el vértice a 4, el cuadrado que falta es $36 - 16$. Al revés saldría negativo y esos puntos no arman una hipérbola. ¹

Medir de foco a foco y llamar $c$ a todo ese tramo. Ese tramo mide el doble: del centro a un solo foco ya está $c$. ¹

Olvidar el signo del centro. En $(y - 2)^2$ la ordenada del centro es 2. Si el binomio fuera $(y + 2)^2$, la ordenada sería $-2$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si dan vértices y focos, toma el punto medio de los vértices como centro, mide $a$ y $c$ desde ahí y calcula $b^2 = c^2 - a^2$. La coordenada que no cambia dice si el término positivo es el de $x$ o el de $y$. ¹

Si el enunciado trae el centro y cuánto mide cada eje, el transverso mide $2a$ y el conjugado mide $2b$. La orientación sale del enunciado o de un foco. Luego sustituye $h$, $k$, $a^2$ y $b^2$, con el signo más del lado de las ramas. ¹

Si llega expandida, junta los términos de cada variable, completa los cuadrados y divide para que a la derecha quede 1. Cuida el signo al pasar el grupo de $y$: un menos delante del paréntesis cambia lo que se suma al otro lado. ¹

Resumen

• El centro promedia los vértices.
• $a$ es la mitad del tramo entre vértices. $c$ llega del centro al foco, y es mayor que $a$.
• $b^2$ se obtiene restando $a^2$ de $c^2$.
• El término positivo es el del eje transverso y se divide entre $a^2$.
• Con centro $(h, k)$ cada variable se escribe restando esa coordenada.