La elipse: definición, vértices, focos y ejes

¿Dónde quedan el centro, los vértices y los focos?

Toma dos alfileres, uno en cada foco, y un hilo más largo que la separación entre ellos. Un lápiz que mantiene el hilo tenso recorre la elipse: en cada punto, la suma de las distancias a los dos focos es la longitud del hilo. En la ecuación esa suma es $2a$. ¹

El tramo más largo de la curva se llama eje mayor y el más corto, eje menor. Cada extremo del eje mayor es un vértice. Cada extremo del eje menor es un covértice. El centro es el punto que parte los dos ejes por la mitad, y los ejes se cruzan ahí en perpendicular. Los focos siempre quedan sobre el eje mayor. Esta ficha se queda con elipses de ejes horizontales o verticales. La ecuación ordinaria se arma con el centro, con $a$ y con $b$. ¹

Si el centro es el origen y el eje mayor es horizontal, la forma es

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

con $a > b$. El eje mayor mide $2a$ y los vértices son $(\pm a, 0)$. El eje menor mide $2b$ y los covértices son $(0, \pm b)$. Los focos son $(\pm c, 0)$, con $c^2 = a^2 - b^2$. ¹

Si el eje mayor es vertical y el centro sigue en el origen, los denominadores se intercambian:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

también con $a > b$. Los vértices pasan a $(0, \pm a)$, los covértices a $(\pm b, 0)$ y los focos a $(0, \pm c)$. La relación entre $a$, $b$ y $c$ no cambia. ¹

Cuando el centro es $(h, k)$ y el eje mayor es paralelo al eje horizontal, se escribe

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Los vértices son $(h \pm a, k)$, los covértices son $(h, k \pm b)$ y los focos son $(h \pm c, k)$. Si el eje mayor es paralelo al eje vertical, $a^2$ queda bajo el binomio de $y$: vértices $(h, k \pm a)$, covértices $(h \pm b, k)$ y focos $(h, k \pm c)$. ¹

Ideas clave

• Definición. La suma de distancias de un punto de la curva a los dos focos es constante e igual a $2a$. Esa suma supera la distancia $2c$ entre los focos. ¹
• Ejes. El eje mayor une los vértices. El eje menor une los covértices. El centro parte ambos por la mitad y los dos ejes son perpendiculares. ¹
• Centro en el origen, eje mayor horizontal. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, con $a > b$. Vértices $(\pm a, 0)$, covértices $(0, \pm b)$, focos $(\pm c, 0)$. ¹
• Centro en el origen, eje mayor vertical. $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$, con $a > b$. Vértices $(0, \pm a)$, covértices $(\pm b, 0)$, focos $(0, \pm c)$. ¹
• Centro en $(h, k)$. La abscisa del centro entra en el binomio de $x$ y la ordenada entra en el de $y$. El eje mayor horizontal corre los focos en la abscisa. El eje mayor vertical los corre en la ordenada. ¹
• Relación de $c$. $c^2 = a^2 - b^2$. Como $a > c > 0$ en una elipse no degenerada, $b^2$ sale positivo. ¹

Ejemplos resueltos

Eje mayor horizontal y centro en el origen

De $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, halla vértices, covértices y focos.

1. El denominador mayor está bajo $x$, así que el eje mayor es horizontal. $a^2 = 25$ y $b^2 = 16$. Entonces $a = 5$ y $b = 4$. ¹
2. Vértices $(\pm 5, 0)$. Covértices $(0, \pm 4)$. El eje mayor mide 10 y el menor mide 8. ¹
3. $c^2 = 25 - 16 = 9$, luego $c = 3$. Focos $(\pm 3, 0)$. ¹
4. La suma constante es $2a = 10$. La distancia entre los focos es 6, que es menor que 10. ¹

Eje mayor vertical y centro en el origen

De $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36} = 1$, lee los mismos elementos.

1. El denominador mayor está bajo $y$. $a^2 = 36$, $b^2 = 9$, así que $a = 6$ y $b = 3$. ¹
2. Vértices $(0, \pm 6)$. Covértices $(\pm 3, 0)$. ¹
3. $c^2 = 36 - 9 = 27$, luego $c = 3\sqrt{3}$. Focos $(0, \pm 3\sqrt{3})$. ¹

Una ecuación que todavía no está dividida

Pasa $4x^2 + 9y^2 = 36$ a la forma ordinaria y di hacia dónde es el eje mayor.

1. Divide entre 36: $\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1$, o sea $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. ¹
2. $a^2 = 9$ está bajo $x$ y $b^2 = 4$ está bajo $y$. El eje mayor es horizontal. $a = 3$, $b = 2$. ¹
3. Vértices $(\pm 3, 0)$. Covértices $(0, \pm 2)$. $c^2 = 9 - 4 = 5$, focos $(\pm \sqrt{5}, 0)$. ¹

Errores comunes

Poner el denominador mayor bajo la variable del eje menor. $a$ es el semieje mayor. Si el eje mayor es vertical, $a^2$ va bajo $y$, aunque la $x$ se escriba primero. ¹

Tomar $c^2 = a^2 + b^2$. En la elipse se resta: $c^2 = a^2 - b^2$. Sumar colocaría los focos más lejos que los vértices, y eso no cabe en esta definición. ¹

Llamar vértice a un extremo del eje menor. Esos extremos son los covértices. Los vértices son solo los del eje mayor, y los focos están en ese mismo eje. ¹

Leer $h$ y $k$ con el signo que se ve dentro del paréntesis. En $(x - 1)$ la abscisa del centro es 1. En $(y + 2)$ la ordenada del centro es $-2$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si la ecuación ya es ordinaria, compara denominadores. El mayor es $a^2$ y te dice el eje mayor. Saca $a$ y $b$ con raíz positiva, luego $c$ desde $c^2 = a^2 - b^2$. Escribe vértices, covértices y focos según el eje sea horizontal o vertical. ¹

Si el centro no es el origen, lee $h$ y $k$ en los binomios y corre cada punto desde $(h, k)$. Misma ordenada en vértices y focos: el eje mayor va en horizontal. Misma abscisa: va en vertical. ¹

Si la ecuación llega como $Ax^2 + By^2 = F$, con $A$, $B$ y $F$ positivos y $A \neq B$, divide entre $F$ hasta ver 1 del lado derecho. El denominador que quede más grande marca el eje mayor. ¹

Resumen

• La elipse suma distancias constantes, iguales a $2a$, hacia dos focos.
• El eje mayor une vértices. El eje menor une covértices. El centro parte los dos.
• $a^2$ es el denominador mayor y va bajo la variable del eje mayor.
• $c^2 = a^2 - b^2$, y los focos quedan sobre el eje mayor, más cerca que los vértices.
• Con centro $(h, k)$ se restan $h$ y $k$ dentro de cada binomio.