Ecuación de la parábola

¿Qué ecuación corresponde a esos datos?

Con vértice en el origen, el foco $(p, 0)$ da $y^2 = 4px$ y el foco $(0, p)$ da $x^2 = 4py$. Si el vértice es $(h, k)$, las mismas formas cambian $x$ por $x - h$ y $y$ por $y - k$. Los elementos se leen al revés: aquí se parte de ellos para escribir la ecuación. ¹

El signo de $p$ no se quita al armar $4p$. Un foco a la izquierda del vértice, o debajo, deja $p$ negativo y la curva abre hacia ese lado. ¹

Ideas clave

• Foco sobre el eje horizontal, vértice en el origen. El foco $(p, 0)$ y la directriz $x = -p$ dan $y^2 = 4px$. ¹
• Foco sobre el eje vertical, vértice en el origen. El foco $(0, p)$ y la directriz $y = -p$ dan $x^2 = 4py$. ¹
• Vértice trasladado, eje horizontal. La ordenada queda al cuadrado: $(y - k)^2 = 4p(x - h)$. El punto fijo tiene abscisa $h + p$ y la misma ordenada $k$. ¹
• Vértice trasladado, eje vertical. La abscisa queda al cuadrado: $(x - h)^2 = 4p(y - k)$. El punto fijo tiene ordenada $k + p$ y la misma abscisa $h$. ¹
• Cómo sale p. Del vértice al foco, sobre el eje. Si el foco está hacia los negativos, $p$ es negativo. ¹
• Forma general. Se desarrollan los binomios y se pasa todo a un lado. La curva no cambia. ¹

Ejemplos resueltos

Foco y directriz, vértice en el origen

Escribe la ecuación con foco $(0, -4)$ y directriz $y = 4$.

1. El foco tiene la forma $(0, p)$, así que el eje es vertical y la forma es $x^2 = 4py$. ¹
2. $p = -4$. Entonces $4p = -16$. ¹
3. $x^2 = -16y$. Abre hacia abajo, del lado del foco. ¹
4. El vértice es el punto medio entre $(0, -4)$ y la recta $y = 4$, o sea $(0, 0)$. ¹

Vértice y foco

El vértice es $(5, 1)$ y el foco es $(5, 4)$. Escribe la forma ordinaria y la general.

1. El foco está en la misma abscisa, 3 unidades arriba. El eje es vertical y $p = 3$. ¹
2. $(x - 5)^2 = 12(y - 1)$. ¹
3. Desarrolla: $x^2 - 10x + 25 = 12y - 12$. Pasa todo: $x^2 - 10x - 12y + 37 = 0$. ¹
4. La directriz, si la piden, es $y = 1 - 3 = -2$. No hace falta para escribir la ecuación. ¹

Foco y directriz fuera del origen

El foco es $(-2, 3)$ y la directriz es $x = 2$. Escribe la ecuación.

1. Foco y directriz comparten la ordenada del vértice. El punto medio de las abscisas $-2$ y $2$ es $0$, así que el vértice es $(0, 3)$. ¹
2. El foco está 2 unidades a la izquierda del vértice. $p = -2$ y el eje es horizontal. ¹
3. $(y - 3)^2 = 4(-2)(x - 0)$, o sea $(y - 3)^2 = -8x$. ¹
4. No uses $p = 2$. El foco está del lado negativo de $x$, y ese signo abre la curva a la izquierda. ¹

Errores comunes

Elegir $x^2 = 4py$ cuando el foco es $(p, 0)$. Ese foco está sobre el eje horizontal y la variable al cuadrado es $y$. ¹

Borrar el signo de $p$ antes de multiplicar por 4. Si $p = -4$, $4p$ vale $-16$, no 16. ¹

Medir $p$ desde el foco hasta la directriz y usar esa distancia completa. $p$ es solo el tramo del vértice al foco, la mitad del tramo del foco a la directriz. ¹

Olvidar restar $h$ y $k$ cuando el vértice no es el origen. Copiar $x^2 = 4py$ con un vértice $(5, 1)$ describe otra curva, con vértice en $(0, 0)$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si dan foco y directriz, halla el punto medio: ese es el vértice. El eje es perpendicular a la directriz. $p$ lleva el signo del lado en el que está el foco. Luego sustituye en la forma que corresponda. ¹

Si dan vértice y foco, la coordenada que cambia te dice el eje, y la resta te da $p$. Escribe $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ o $(y - k)^2 = 4p(x - h)$. ¹

Si piden la forma general, desarrolla y deja cero de un lado. No cambies el signo de $4p$ en ese paso: el desarrollo ya arrastra el signo. ¹

Resumen

• Con vértice en el origen, $y^2 = 4px$ o $x^2 = 4py$ según el eje.
• Con vértice $(h, k)$ se reemplazan $x$ por $x - h$ y $y$ por $y - k$.
• $p$ es la distancia con signo del vértice al foco.
• El foco del lado negativo deja $4p$ negativo.
• La forma general es la ordinaria desarrollada y igualada a cero.