Centro y radio desde la ecuación general

¿Dónde están el centro y el radio?

En $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ el centro es $(h, k)$ y el radio es la raíz positiva del lado derecho. Una suma dentro del paréntesis se reescribe como resta de un negativo. Cuando la ecuación llega como $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, se agrupan términos, se pasan las constantes y se completan cuadrados, que es el cuadrado de un binomio al revés. ¹

Ideas clave

• Lectura directa. En la forma ordinaria, $h$ y $k$ son los números que se restan a $x$ y a $y$. El radio es $\sqrt{r^2}$. ¹
• Suma es resta de un negativo. $x + 3$ significa $h = -3$. $y - 2$ significa $k = 2$. ¹
• Forma general. $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$. Para leer el centro hay que volver a la forma ordinaria. ¹
• Completar cuadrados. Se agrupan las $x$ y las $y$, las constantes pasan al otro lado, se suma en los dos lados el cuadrado de la mitad de cada coeficiente lineal, y se reescribe cada trinomio como binomio al cuadrado. ¹
• Coeficiente distinto de 1. Si $x^2$ y $y^2$ traen el mismo factor, se divide toda la ecuación entre ese factor antes de completar. ¹
• Falta un término lineal. Si no aparece $x$ suelta, $h = 0$. Si no aparece $y$ suelta, $k = 0$. Solo se completa el cuadrado de la variable que sí trae término lineal. ¹

Ejemplos resueltos

Leer una forma ordinaria

Halla el centro y el radio de $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 49$.

1. $x + 3 = x - (-3)$, así que $h = -3$. $y - 2$ da $k = 2$. ¹
2. El lado derecho es $r^2 = 49$, luego $r = 7$. La raíz negativa no es una longitud. ¹
3. Centro $(-3, 2)$ y radio 7.
4. No reportes el centro como $(3, -2)$. Esos son los números del paréntesis con el signo volteado al revés.

Completar cuadrados

Halla el centro y el radio de $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$.

1. Agrupa y pasa la constante: $x^2 - 4x + y^2 + 2y = 4$. ¹
2. La mitad de $-4$ es $-2$, y $(-2)^2 = 4$. La mitad de $2$ es $1$, y $1^2 = 1$. Suma 4 y 1 en los dos lados. ¹
3. $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1$. ¹
4. $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$. Centro $(2, -1)$ y radio 3. ¹

Primero dividir

Halla el centro y el radio de $9x^2 + 9y^2 = 36$.

1. El coeficiente de los cuadrados no es 1. Divide toda la ecuación entre 9: $x^2 + y^2 = 4$. ¹
2. El centro es $(0, 0)$ y $r^2 = 4$, así que el radio es 2. ¹
3. No tomes 36 como $r^2$. Ese 36 todavía no está en la forma ordinaria.

Si no hay término en $x$ suelta, como en $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$, la abscisa del centro es 0. Solo se completa el cuadrado en $y$.

1. No hay término en $x$ suelta, así que $h = 0$. Solo se completa el cuadrado en $y$. ¹
2. $x^2 + y^2 - 6y = 7$. La mitad de $-6$ es $-3$ y $(-3)^2 = 9$. ¹
3. $x^2 + (y - 3)^2 = 7 + 9 = 16$. ¹
4. Centro $(0, 3)$ y radio 4.

Errores comunes

Leer el radio sin sacar raíz. Si el lado derecho es 49, el radio es 7, no 49. ¹

Dejar el signo del paréntesis como coordenada del centro. En $x + 3$ la abscisa es $-3$. ¹

Completar cuadrados sin dividir antes. Si el coeficiente de $x^2$ y de $y^2$ es 9, ese 9 tiene que volverse 1 o la mitad del coeficiente lineal no arma el binomio. ¹

Sumar el término que completa el cuadrado solo de un lado. Lo que agregas a la izquierda también se agrega a la derecha, o el radio sale mal. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si la ecuación ya tiene dos binomios al cuadrado, reescribe cada suma como resta y saca la raíz del lado derecho. ¹

Si está en forma general, pasa la constante, completa los dos cuadrados y lee $(h, k)$ y $r$ en el resultado. Si $x^2$ y $y^2$ comparten un coeficiente, divide primero toda la ecuación. ¹

Si falta la $x$ lineal o la $y$ lineal, esa coordenada del centro es 0. No inventes un número a partir del término cuadrado. ¹

Resumen

• En la forma ordinaria el centro es $(h, k)$ y el radio es la raíz del lado derecho.
• $x + a$ significa que la abscisa del centro es $-a$.
• La forma general es $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$.
• Completar cuadrados devuelve la forma ordinaria.
• Si el coeficiente de los cuadrados no es 1, se divide toda la ecuación antes.