Productos notables

¿Qué es un producto notable?

En la papelería compras un cuaderno de $n$ pesos y una pluma de 4 pesos. Si pagas dos de cada uno, el total no es "el doble del cuaderno, punto". También pagas las plumas. Con binomios pasa lo mismo: $(n + 4)^{2}$ no es $n^{2} + 16$. El CCH llama productos notables a las multiplicaciones algebraicas cuyo resultado se puede escribir con una fórmula, y pone como ejemplos el binomio al cuadrado y la diferencia de cuadrados. ¹

La fórmula del cuadrado de una suma está en el material del trinomio cuadrado perfecto:

$$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$

El primer término al cuadrado, el segundo al cuadrado, y en medio el doble del producto. ² Si el binomio resta, sustituye $b$ por $-b$. El doble producto cambia de signo y el cuadrado del segundo no, porque $(-b)^{2} = b^{2}$:

$$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$$

OpenStax muestra el mismo patrón al revés, cuando el trinomio ya está escrito y hay que reconocer que salió de un binomio al cuadrado. En $(3x + 4)^{2}$ toma $a = 3x$ y $b = 4$, y el desarrollo es $9x^{2} + 24x + 16$. ³

Los conjugados son el par $a + b$ y $a - b$. Su producto es una diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2}$. El CCH factoriza $a^{2} - b^{2}$ justo como $(a + b)(a - b)$. ² El término de en medio se cancela: $ab$ y $-ab$ se van. Por eso no queda un término con las dos letras juntas.

Para el cubo no hay una línea aparte en esas fichas. Sale del binomio de Newton, con la fila 1, 3, 3, 1 del triángulo de Pascal. ⁴ En el binomio de Newton está el término general. Aquí basta el caso $n = 3$:

$$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$$

$$(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$$

Cada potencia de $b$ arrastra su signo. Si $b$ ya trae un coeficiente, ese coeficiente se eleva completo en cada término.

Ideas clave

• Cuadrado de un binomio. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ y $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. El término de en medio es el doble producto, con el signo de la operación. ²
• Conjugados. $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$. Se eleva cada término completo y se restan. No aparece un término lineal. ¹
• Cubo de un binomio. Con coeficientes 1, 3, 3, 1: los signos alternan si el binomio resta. $a$ y $b$ se elevan enteros, coeficiente incluido. ⁴
• Término completo. En $(3a^{2})^{2}$ el resultado es $9a^{4}$. El coeficiente se eleva y el exponente se multiplica por 2. En un cubo, el exponente se multiplica por 3.
• Comprobación. El desarrollo se verifica multiplicando de nuevo o sustituyendo un número chico. Si $a = 1$ y $b = 1$, $(a + b)^{2}$ vale 4, no 2.

Ejemplos resueltos

El patio de $4\,\text{m}$ de más

Un patio cuadrado mide $t$ metros de lado y le sumas 4 m de banqueta por lado. El área nueva es $(t + 4)^{2}$.

1. Identifica $a = t$ y $b = 4$.
2. Cuadrado del primero: $t^{2}$.
3. Doble producto: $2 \cdot t \cdot 4 = 8t$.
4. Cuadrado del segundo: $16$.
5. Junta: $t^{2} + 8t + 16$.

Prueba con $t = 2$. El lado mide 6 m y el área es 36. La fórmula da $4 + 16 + 16 = 36$. Sin el término de en medio saldrían 20, y el patio no mide eso.

Conjugados con coeficiente

Desarrolla $(4p + 7q)(4p - 7q)$.

1. Los dos binomios son conjugados. $a = 4p$ y $b = 7q$.
2. Cuadrado del primero: $(4p)^{2} = 16p^{2}$.
3. Cuadrado del segundo: $(7q)^{2} = 49q^{2}$.
4. Resta: $16p^{2} - 49q^{2}$.

No queda término en $pq$. Con $p = 1$ y $q = 1$, los binomios valen 11 y $-3$, y $11 \cdot (-3) = -33$. La diferencia de cuadrados da $16 - 49 = -33$.

Un cubo con el segundo término compuesto

Desarrolla $(m - 2n)^{3}$.

1. $a = m$ y $b = 2n$. El signo es resta, así que los signos van +, -, +, - en el orden $a^{3}$, $a^{2}b$, $ab^{2}$, $b^{3}$, con los 3 del medio.
2. $a^{3} = m^{3}$.
3. $3a^{2}b = 3m^{2}(2n) = 6m^{2}n$, y por la resta va con menos: $-6m^{2}n$.
4. $3ab^{2} = 3m(2n)^{2} = 3m \cdot 4n^{2} = 12mn^{2}$.
5. $b^{3} = (2n)^{3} = 8n^{3}$, con menos: $-8n^{3}$.
6. Queda $m^{3} - 6m^{2}n + 12mn^{2} - 8n^{3}$.

Con $m = 2$ y $n = 1$, el binomio es 0 y el desarrollo es $8 - 24 + 24 - 8 = 0$.

Errores comunes

Si elevas cada término y olvidas el doble producto, $(t + 4)^{2}$ te queda $t^{2} + 16$. El área del patio no cuadra. Escribe siempre el $2ab$ antes de pasar al siguiente ejercicio.

Si el binomio resta y pones todos los signos negativos, el cuadrado del segundo también te queda negativo. $b^{2}$ es positivo. Solo el doble producto hereda el signo de la resta.

Si en los conjugados dejas un término de en medio, no eran conjugados o no cancelaste $ab$ con $-ab$. Vuelve a marcar los productos cruzados.

Si elevas $3a^{2}$ como $3a^{4}$ o como $9a^{2}$, partiste el término. El coeficiente y la potencia viajan juntos.

Si el cubo lo armas como $a^{3} - b^{3}$, te faltan los dos términos de en medio. Esos son los que traen el 3.

Cómo lo pregunta el examen

La pregunta directa te da un binomio al cuadrado, al cubo o un par de conjugados, y cuatro desarrollos. Mira primero el signo de en medio y el exponente del coeficiente. En columnas te piden emparejar tres productos con sus desarrollos: uno es cuadrado, otro es conjugados, otro es un producto cualquiera que sí lleva término lineal. El atajo es nombrar el patrón antes de multiplicar.

Cuando el enunciado pide el desarrollo y las opciones se parecen, sustituye $x = 1$ (o el número que no anule un factor) y descarta las que no den el mismo valor. No sustituyas los datos del reactivo en la hoja de fórmulas: arma el patrón con las letras que te dieron.

Para potencias mayores que 3, pasa a el binomio de Newton. Para ir del trinomio hacia los factores, sigue en factorización.

Resumen

• $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ y $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$.
• El término que más se olvida es el doble producto.
• $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$, sin término de en medio.
• El cubo usa 1, 3, 3, 1, y $b$ se eleva completo.
• Comprueba con un número chico antes de marcar la opción.