Binomio de Newton y triángulo de Pascal

¿Cómo se desarrolla $(a + b)^{n}$?

Elevar un binomio a la 2 o a la 3 se puede hacer a mano. A la 5 ya son muchos productos, y el examen a veces pide un solo coeficiente. OpenStax resume el patrón de $(a + b)^{n}$ cuando $n$ es entero positivo: hay $n + 1$ términos, el primero es $a^{n}$, el último es $b^{n}$, los exponentes de $a$ bajan de uno en uno, los de $b$ suben de uno en uno, y en cada término los dos exponentes suman $n$. ¹

Los coeficientes no se inventan. Se leen en el triángulo de Pascal. La fila empieza y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene arriba. Las primeras filas, contando la de $n = 0$, son 1; luego 1, 1; 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1; 1, 5, 10, 10, 5, 1; 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. ¹ La fila de $n$ tiene $n + 1$ números. Para $n = 5$ lees 1, 5, 10, 10, 5, 1.

El coeficiente también se calcula sin dibujar el triángulo. El coeficiente binomial $n$ sobre $r$, con $0 \leq r \leq n$, es

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

Se lee "$n$ en $r$". Ahí se usa $0! = 1$. ¹

Abramson da el término sin desarrollar todo el binomio. El término número $r + 1$ de $(a + b)^{n}$, contando desde 1, es

$$\binom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$$

El exponente de $b$ es $r$, y el de $a$ es lo que falta para llegar a $n$. ² Si el binomio es una resta, escribes $b$ con su signo negativo y ese signo viaja dentro de $b^{r}$.

Los cuadrados y cubos de productos notables son los casos $n = 2$ y $n = 3$ de esta misma fila. Aquí el trabajo nuevo es $n$ más grande y el término suelto.

Ideas clave

• Cuántos términos. $(a + b)^{n}$ tiene $n + 1$ términos. No $n$. ¹
• Exponentes. En el término con $b^{r}$, $a$ queda a la $n - r$. La suma de los exponentes es $n$ en todos.
• Término número $r + 1$. Vale $\binom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$. El cuarto término tiene $r = 3$, no $r = 4$. ²
• Signo. Si desarrollas $(a - c)^{n}$, toma $b = -c$. El signo del término es el de $(-c)^{r}$: negativo cuando $r$ es impar.
• Término completo. $a$ y $b$ incluyen coeficiente y exponente. $(x^{2})^{3} = x^{6}$, y $(-3y)^{2} = 9y^{2}$.

Ejemplos resueltos

Un coeficiente, sin abrir los cinco productos

En $(a + 3)^{4}$, ¿cuál es el coeficiente de $a^{2}$?

1. El término con $a^{2}$ tiene $n - r = 2$ y $n = 4$, así que $r = 2$. Es el tercer término, no el segundo.
2. El coeficiente es $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = \frac{24}{4} = 6$.
3. $b = 3$ y $b^{2} = 9$.
4. El término es $6 \cdot a^{2} \cdot 9 = 54a^{2}$. El coeficiente pedido es 54.

La fila de $n = 4$ es 1, 4, 6, 4, 1. El 6 cae justo en $a^{2}b^{2}$. Coincide.

El cuarto término, en potencias decrecientes

Halla el cuarto término de $(3t + 2)^{4}$, ordenado con las potencias de $t$ de mayor a menor.

1. El primer término es $r = 0$, el de $t$ a la 4. El cuarto es $r = 3$.
2. $\binom{4}{3} = 4$.
3. $a^{n - r} = (3t)^{1} = 3t$.
4. $b^{r} = 2^{3} = 8$.
5. $4 \cdot 3t \cdot 8 = 96t$.

Si alguien toma $r = 4$, el exponente de $t$ se va a 0 y el término ya no lleva $t$. Ese es el quinto, el último.

Un cubo con el primer término al cuadrado

Desarrolla $(p^{2} - 2)^{3}$.

1. $n = 3$, fila 1, 3, 3, 1. $a = p^{2}$ y $b = -2$.
2. $a^{3} = (p^{2})^{3} = p^{6}$.
3. $3a^{2}b = 3(p^{2})^{2}(-2) = 3p^{4}(-2) = -6p^{4}$.
4. $3ab^{2} = 3(p^{2})(4) = 12p^{2}$, porque $(-2)^{2} = 4$.
5. $b^{3} = (-2)^{3} = -8$.
6. Queda $p^{6} - 6p^{4} + 12p^{2} - 8$.

Con $p = 1$, el binomio es $-1$ y $(-1)^{3} = -1$. El desarrollo da $1 - 6 + 12 - 8 = -1$.

Errores comunes

Si cuentas el cuarto término con $r = 4$, te adelantas un lugar. El primer término es $r = 0$. El número de término, contado desde 1, es $r + 1$.

Si sumas los exponentes y no te da $n$, cambiaste una potencia a medias. En $(x^{2})^{4}$ el exponente es 8, no 6 ni 4.

Si el signo menos se te olvida en las potencias pares, $b^{2}$ te queda negativo. Una potencia par de un negativo es positiva.

Si bajas el factorial del coeficiente como $n \cdot r$, no es el binomial. $\binom{5}{2} = 10$, no 7 ni 25.

Si desarrollas todo cuando piden un coeficiente, es fácil copiar el término de al lado. Escribe primero $r$ y luego un solo término.

Cómo lo pregunta el examen

En la forma directa te piden el coeficiente de una potencia, el término que ocupa un lugar, o el desarrollo corto de un cubo. Lo primero que anotas es $n$, luego $r$, luego si $b$ es negativo. El desarrollo completo de un cubo se reconoce por la fila 1, 3, 3, 1 y por el exponente del primer sumando: si $a$ ya es un cuadrado, el primer término sube al doble de ese exponente, tres veces.

No hay columnas en estos reactivos. El distractor típico usa el coeficiente de Pascal correcto con el exponente mal repartido, o el lugar del término corrido en uno. Sustituir $x = 1$ descarta desarrollos enteros. Para un solo coeficiente, la sustitución no basta: arma $\binom{n}{r} a^{n-r} b^{r}$.

Resumen

• $(a + b)^{n}$ tiene $n + 1$ términos y los exponentes de cada término suman $n$.
• La fila de Pascal empieza y termina en 1. Cada interior es suma de los dos de arriba.
• El término número $r + 1$ es $\binom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$.
• En una resta, $b$ entra negativo y el signo depende de $r$ par o impar.
• Coeficiente y exponente del término original se elevan juntos.