Permutaciones y combinaciones

¿El orden de la selección cambia el número?

Si una elección puede ocurrir de $m$ maneras y otra, después de esa, de $n$ maneras, las dos juntas pueden ocurrir de $m \times n$ maneras. El libro lo llama principio de multiplicación, y también principio fundamental de conteo. No es una suma: la suma aparece cuando eliges una opción o la otra, sin encadenarlas. En un menú fijo de $2$ entradas, $3$ platos y $2$ postres hay $2 \times 3 \times 2 = 12$ comidas de una de cada cosa. El producto crece con cada decisión que se toma después de la anterior. ¹

Una ordenación de objetos es una permutación. Si hay que llenar lugares en orden, conviene dibujar un lugar por decisión y anotar cuántas opciones quedan en cada uno. Cuatro cuadros distintos y tres ganchos en la pared, por ejemplo, dejan $4$ opciones en el primer gancho, $3$ en el segundo y $2$ en el tercero: $4 \times 3 \times 2 = 24$ colgados distintos. El orden en el que cuelgan sí cambia el resultado. ²

La fórmula, cuando ya son muchos factores

Elegir $r$ objetos distintos de un conjunto de $n$, y ordenarlos, se cuenta con

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}.$$

El factorial $n!$ es el producto que el libro usa en esa fórmula. En un club de $6$ personas, los puestos ordenados de $3$ oficiales son $P(6, 3) = \tfrac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$. Si ordenas los $n$ objetos completos, $r = n$ y el denominador es $(n - n)!$, o sea $0!$. El libro usa $0! = 1$, así que $P(n, n) = n!$. No queda una división entre cero. ³

El mismo coeficiente, sin el orden, es el que también aparece al desarrollar un binomio. Esa escritura está en el coeficiente binomial. Aquí hace falta la versión que no ordena.

Cuando el orden no cuenta

Hay problemas en los que eliges algunos objetos y no te importa en qué orden quedaron. Eso es una combinación. Una selección de $r$ objetos de un conjunto de $n$, sin orden, se escribe $C(n, r)$, y también $n$ sobre $r$. La fórmula es

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}.$$

El $r!$ del denominador quita las ordenaciones que la permutación sí contaba. $P(n, r)$ es más grande que $C(n, r)$ por ese factor, cuando $r \geq 2$. En el libro, elegir $2$ guarniciones de $5$ da $C(5, 2) = 10$, y elegir $3$ de esas mismas $5$ también da $10$. No uses esa pareja como único ejercicio: cambia $n$ y $r$. ⁴

Estas fichas no cuentan objetos repetidos, como letras que se repiten en una palabra. La sección sí tiene ese caso, y no hace falta para separar permutación de combinación. Si el enunciado dice "orden", "fila", "lugares" o "puestos", es $P$. Si dice "comité", "grupo" o "elige" sin acomodar, es $C$. ^{2 4}

Ideas clave

• Multiplicación. Si la segunda elección ocurre después de la primera, las maneras se multiplican: $m \times n$. ¹
• Permutación. Una ordenación. $P(n, r) = \tfrac{n!}{(n - r)!}$. ^{2 3}
• Todos. $P(n, n) = n!$ porque $0! = 1$. ³
• Combinación. El orden no importa. $C(n, r) = \tfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$. ⁴
• Relación. La combinación es la permutación partida entre $r!$. ⁴

Ejemplos resueltos

Bebida y sandwich

Una cafetería tiene $4$ bebidas y $6$ sandwiches. Un pedido lleva una bebida y un sandwich. ¿Cuántos pedidos distintos hay?

1. Primero la bebida, de $4$ maneras. Después el sandwich, de $6$. ¹
2. $4 \times 6 = 24$ pedidos.
3. Sumar $4 + 6 = 10$ contaría "bebida o sandwich", no un pedido con las dos cosas.

Tres canciones en orden

Hay $8$ canciones distintas y quieres una lista de $3$, donde el orden de reproducción sí cambia la lista. ¿Cuántas listas hay?

1. $P(8, 3) = \tfrac{8!}{(8 - 3)!} = \tfrac{8!}{5!}$. ³
2. Eso es $8 \times 7 \times 6 = 336$.
3. Si el orden no cambiara la selección, este número estaría de más: habría que dividir entre $3!$.

Las mismas tres, sin orden

De esas $8$ canciones eliges $3$ para un conjunto, y dos conjuntos con las mismas canciones son el mismo aunque las pongas en otro orden. ¿Cuántos conjuntos hay?

1. $C(8, 3) = \tfrac{8!}{3!\,5!} = \tfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$. ⁴
2. $336 / 6 = 56$. El $6$ es $3!$, las formas de ordenar las tres canciones ya elegidas.
3. Entregar $336$ aquí cuenta listas, no conjuntos.

Errores comunes

• Sumar las opciones de un pedido que lleva una cosa y después otra. Esas opciones se multiplican. ¹
• Usar $C$ cuando el puesto o la fila distinguen el orden. Eso es $P$. ²
• Olvidar el $r!$ de la combinación y dejar la permutación. ⁴
• Tratar $0!$ como $0$. En esta sección vale $1$, y $P(n, n)$ es $n!$. ³

Cómo lo pregunta el examen

Una carta de productos con dos decisiones seguidas pide un producto. Una fila, un podio o una lista de reproducción piden $P(n, r)$. Un comité o un grupo de tamaño $r$, sin cargos distintos, pide $C(n, r)$. Con $8$ objetos y $3$ lugares, la lista ordenada vale $336$ y el grupo sin orden vale $56$. Si te piden ordenar los $n$ objetos enteros, la respuesta es $n!$, porque $0! = 1$. El coeficiente $n$ sobre $r$ es el mismo número de la combinación. ^{3 4}

Resumen

• Dos elecciones encadenadas se multiplican. ¹
• Ordenar $r$ objetos de $n$ es $P(n, r) = \tfrac{n!}{(n - r)!}$. ³
• Ordenar los $n$ es $n!$, con $0! = 1$. ³
• Elegir sin orden es $C(n, r) = \tfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$. ⁴
• $C$ sale de $P$ al dividir entre las ordenaciones $r!$. ⁴