Probabilidad de un evento

¿Qué número le toca a un evento?

La probabilidad está ligada a qué tan seguro es el resultado de un experimento. La de un evento $A$ se escribe $P(A)$. La de cualquier resultado es su frecuencia relativa a largo plazo: si repites el experimento muchísimas veces, la fracción de veces que sale ese resultado se acerca a su probabilidad. Una moneda imparcial, lanzada de $20$ a $2\,000$ a $20\,000$ veces, lleva la frecuencia relativa de caras hacia $0{,}5$. ¹

Toda probabilidad está entre cero y uno, incluidos los extremos. $P(A) = 0$ significa que $A$ no puede ocurrir. $P(A) = 1$ significa que $A$ siempre ocurre. $P(A) = 0{,}5$ significa que ocurre tan seguido como no ocurre. No hay probabilidad $1{,}2$ ni probabilidad negativa. Si una cuenta se sale de ese intervalo, se contó de más o se restó de más. ¹

Igual de probable quiere decir que cada resultado del experimento ocurre con la misma probabilidad. En un dado imparcial de seis caras, cada cara tiene la misma probabilidad que cualquier otra. En una moneda imparcial, cara y cruz también. Cuando los resultados son igual de probables, la probabilidad del evento es el número de resultados que le pertenecen dividido entre el número de resultados de $S$. En el libro, un espacio de seis resultados y un evento que se queda con cuatro de ellos dan $P(A) = \tfrac{4}{6}$. El propio texto avisa que, para eventos que no son igual de probables, hay otras técnicas más adelante. No uses el conteo si el enunciado dice que unas caras pesan más. Las listas de qué resultados entran en $A$ están en el espacio y el evento. ¹

Complemento y O

$P(A) + P(A') = 1$, así que $P(A') = 1 - P(A)$. Si ya contaste el evento, el complemento es el resto hasta uno. No hace falta volver a enumerar, salvo que quieras revisar. ²

Si $A$ y $B$ están definidos en el mismo espacio,

$$P(A \text{ O } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ Y } B).$$

La resta quita lo que está en los dos, porque si no, esa parte entra dos veces en la suma. Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, $P(A \text{ Y } B) = 0$ y la fórmula se queda en $P(A) + P(B)$. En el ejemplo del libro, Klaus solo puede pagar unas vacaciones: Nueva Zelanda con $0{,}6$ o Alaska con $0{,}35$. La intersección es $0$, y la probabilidad de una u otra es $0{,}95$. La de no ir a ninguno de esos dos lugares es $0{,}05$, el complemento hasta $1$. ³

Estas fichas no cubren la probabilidad condicional ni la independencia. Esas parten el espacio y comparan $P(A|B)$ con $P(A)$. Aquí el evento se mide contra $S$ completo. ¹

Ideas clave

• Escala. $P(A)$ está entre $0$ y $1$, inclusive. Cero es imposible y uno es seguro. ¹
• Largo plazo. La probabilidad de un resultado es la frecuencia relativa hacia la que se acerca la repetición. ¹
• Igual de probable. $P(A)$ es el número de resultados de $A$ entre el número de resultados de $S$. ¹
• Complemento. $P(A') = 1 - P(A)$. ²
• O. $P(A) + P(B) - P(A \text{ Y } B)$. Si no comparten resultados, la resta es cero. ³

Ejemplos resueltos

Ruleta de cinco sectores

Una ruleta imparcial tiene cinco sectores del mismo tamaño, numerados del $1$ al $5$. ¿Cuál es la probabilidad de un sector concreto, y cuál la de un número par?

1. Los cinco resultados son igual de probables. Un sector vale $\tfrac{1}{5} = 0{,}2$. ¹
2. Los pares son $\{2, 4\}$, dos de cinco: $P = \tfrac{2}{5} = 0{,}4$.
3. El complemento, "no es par", vale $1 - 0{,}4 = 0{,}6$, que es $\tfrac{3}{5}$. ²

Dos eventos que no se tocan

$P(A) = 0{,}40$ y $P(B) = 0{,}25$. Sabes que no pueden ocurrir juntos, así que $P(A \text{ Y } B) = 0$. ¿Cuánto es $P(A \text{ O } B)$, y cuánto es la probabilidad de ninguno de los dos?

1. Como la intersección es cero, $P(A \text{ O } B) = 0{,}40 + 0{,}25 = 0{,}65$. ³
2. El complemento de esa unión es $1 - 0{,}65 = 0{,}35$. ²
3. Sumar y no mirar el intervalo habría sido un problema si la suma pasara de $1$. Aquí $0{,}65$ sí cabe.

Se pisan

$P(A) = 0{,}50$, $P(B) = 0{,}40$ y $P(A \text{ Y } B) = 0{,}15$. ¿Cuánto es el O?

1. $P(A \text{ O } B) = 0{,}50 + 0{,}40 - 0{,}15 = 0{,}75$. ³
2. Sin la resta habrías escrito $0{,}90$, contando dos veces el $0{,}15$ compartido.
3. $0{,}75$ está entre $0$ y $1$. El complemento vale $0{,}25$. ¹

Errores comunes

• Aceptar una probabilidad mayor que $1$ o menor que $0$. El intervalo está cerrado en los extremos y no sigue. ¹
• Dividir casos entre el total cuando el enunciado dice que los resultados no son igual de probables. ¹
• Sumar $P(A)$ y $P(B)$ sin restar la intersección, cuando los eventos se pisan. ³
• Calcular el complemento como $P(A) - 1$. Es $1 - P(A)$. ²

Cómo lo pregunta el examen

Un dado o una ruleta con regiones iguales piden un conteo: resultados del evento entre resultados de $S$. Una moneda imparcial se acerca a $0{,}5$ para cara. Dos eventos con sus probabilidades y la de la intersección piden la suma menos esa intersección. Si te dicen que solo puede ocurrir uno, la intersección es cero y no restas nada. El "no ocurre" es uno menos la probabilidad del evento. Un resultado de $0{,}40$ y otro de $0{,}25$, sin parte común, dejan $0{,}65$ en el O y $0{,}35$ en el complemento. ^{1 3}

Resumen

• $P(A)$ vive entre $0$ y $1$. ¹
• A la larga, es la frecuencia relativa del resultado. ¹
• Si todos los resultados pesan igual, divides el tamaño del evento entre el de $S$. ¹
• El complemento completa hasta $1$. ²
• El O suma las dos probabilidades y resta la intersección. ³