Probabilidad condicional y eventos independientes

¿Qué cambia cuando ya sabes que B ocurrió?

$P(A|B)$ se lee "probabilidad de $A$ dada $B$". Es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que $B$ ya ocurrió. El condicional achica el espacio muestral: ya no cuentas contra $S$ entero, cuentas contra $B$. La fórmula es

$$P(A|B) = \frac{P(A \text{ y } B)}{P(B)},$$

con $P(B)$ distinto de cero, porque si no, no hay espacio reducido. El libro la escribe también al revés, como regla de multiplicación: si $A$ y $B$ están en el mismo espacio, $P(A \text{ y } B) = P(B)\,P(A|B)$. Las dos dicen lo mismo. La escala de $0$ a $1$, sin condicional, está en la probabilidad entre cero y uno. ^{1 2}

Independientes

$A$ y $B$ son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro. El libro lo escribe de tres maneras, y las tres tienen que cuadrar:

$$P(A|B) = P(A), \qquad P(B|A) = P(B), \qquad P(A \text{ y } B) = P(A)\,P(B).$$

Si $P(A|B) = P(A)$, la regla de multiplicación se simplifica al producto $P(A)\,P(B)$. Si el producto no coincide con la intersección que te dieron, no son independientes. No basta con que "suenen" separados. ^{3 2}

Mutuamente excluyentes, que es distinto

Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo. Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo: no comparten resultados y $P(A \text{ y } B) = 0$. En el libro, un evento reúne cinco enteros de un espacio de diez y otro reúne dos que no están entre esos cinco: no comparten resultados, así que son mutuamente excluyentes. Un tercer evento sí se cruza con el primero en dos enteros, y por eso ese par no lo es. Si no sabes si dos eventos son mutuamente excluyentes, el libro dice que supongas que no lo son hasta que puedas demostrar lo contrario. ³

Un par con intersección cero no pasa la prueba de independencia, salvo un caso degenerado en el que alguna probabilidad es cero. Si $P(A)$ y $P(B)$ son las dos positivas y el producto también, no puede ser igual a cero. Entonces "no pueden ocurrir juntos" y "saber uno no informa del otro" se contradicen en los casos ordinarios. No los uses como sinónimos. ³

Ideas clave

• Condicional. $P(A|B)$ mide $A$ dentro de $B$, no dentro de $S$. ¹
• Fórmula. $P(A|B) = \tfrac{P(A \text{ y } B)}{P(B)}$, y $P(A \text{ y } B) = P(B)\,P(A|B)$. ²
• Independencia. $P(A|B) = P(A)$ y la intersección es el producto $P(A)\,P(B)$. ³
• Excluyentes. No comparten resultados y la intersección es $0$. ³
• No son lo mismo. El libro lo dice en la primera línea de la sección 3.2. ³

Ejemplos resueltos

Dado B

$P(B) = 0{,}50$ y $P(A \text{ y } B) = 0{,}20$. ¿Cuánto es $P(A|B)$? Si además $P(A) = 0{,}30$, ¿son independientes?

1. $P(A|B) = \tfrac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40$. ²
2. $0{,}40$ no es igual a $P(A) = 0{,}30$. Saber que $B$ ocurrió sube la probabilidad de $A$. No son independientes. ³
3. El producto $0{,}30 \times 0{,}50 = 0{,}15$ tampoco es la intersección $0{,}20$. Las dos pruebas fallan juntas, como tiene que ser.

Sí son independientes

$P(A) = 0{,}40$ y $P(B) = 0{,}25$, y te dicen que son independientes. ¿Cuánto es la intersección, y cuánto es $P(A|B)$?

1. $P(A \text{ y } B) = 0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}10$. ²
2. $P(A|B) = \tfrac{0{,}10}{0{,}25} = 0{,}40$, que es otra vez $P(A)$. ³
3. No sumes $0{,}40 + 0{,}25$. Eso sería el O solo si además fueran excluyentes, y con intersección $0{,}10$ no lo son.

Fichas que no se tocan

Hay ocho fichas distintas. $A$ se queda con tres de ellas y $C$ con otras dos, sin ficha repetida entre los dos grupos. ¿Son mutuamente excluyentes?

1. No hay ficha en los dos grupos. $P(A \text{ y } C) = 0$. ³
2. Sí son mutuamente excluyentes.
3. Eso no los vuelve independientes. Si cada ficha fuera igual de probable, $P(A) = \tfrac{3}{8}$ y $P(C) = \tfrac{2}{8}$, y el producto $\tfrac{6}{64}$ no es $0$. ³

Errores comunes

• Poner $P(S)$ en el denominador de la condicional. El denominador es $P(B)$. ¹
• Traducir "independientes" como "no ocurren juntos". Esa frase es la de mutuamente excluyentes. ³
• Multiplicar $P(A)$ por $P(B)$ sin haber comprobado la independencia, cuando el dato que tienes es $P(A|B)$. ²
• Dar por excluyentes dos eventos solo porque el problema no lo dice. El libro pide suponer que no lo son hasta demostrarlo. ³

Cómo lo pregunta el examen

Te dan $P(B)$ y la intersección, y piden $P(A|B)$: divides. Te dan $P(A|B)$ y $P(B)$, y piden la intersección: multiplicas. Para la independencia comparas $P(A|B)$ con $P(A)$, o la intersección con el producto. Para excluyentes miras si comparten resultados. Con $P(B) = 0{,}50$ y intersección $0{,}20$, la condicional es $0{,}40$. Si $P(A)$ era $0{,}30$, no hay independencia. Dos listas sin números comunes sí son excluyentes, y eso no autoriza el producto. ^{2 3}

Resumen

• $P(A|B)$ es $A$ medido dentro de $B$. ¹
• Se calcula como la intersección dividida entre $P(B)$. ²
• Independiente: la condicional no se mueve, y la intersección es el producto. ³
• Mutuamente excluyentes: intersección cero, sin resultados compartidos. ³
• Las dos palabras no se sustituyen. ³