Razones, proporciones y porcentajes

¿Cómo se arma una proporción?

En el tianguis, 2 kilos de naranja y 5 kilos de naranja no cuestan "lo mismo por ser naranja": el precio crece con el peso. Esa es una comparación entre dos cantidades de la misma unidad, y el examen le pone nombre. Las fracciones que aparecen aquí se operan como en fracciones y jerarquía. ¹

Una razón compara dos números o dos cantidades medidas con la misma unidad. La razón de $a$ a $b$ se escribe $a$ a $b$, $\frac{a}{b}$ o $a:b$. Cuando se deja como fracción, se simplifica, pero no se convierte en mixto: las dos partes tienen que seguir viéndose. ¹

Ideas clave

• Proporción. Es una ecuación $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, con $b \neq 0$ y $d \neq 0$. Se lee "$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$". Dice que dos razones son iguales. ²
• Productos cruzados. En esa proporción, el producto de cada denominador con el numerador de enfrente es el mismo. Si los dos productos coinciden, la proporción es verdadera. Sirve para despejar la incógnita. ²
• Variación directa. $y$ varía en forma directa con $x$ si $y = kx$, con $k \neq 0$. $k$ es la constante de variación. El cociente $y \div x$ no cambia. ⁴
• Variación inversa. $y$ varía en forma inversa con $x$ si $y = \frac{k}{x}$, con $k \neq 0$. La palabra "inversa" apunta al recíproco de $x$. El producto $xy$ se queda constante: si una cantidad baja, la otra sube. ⁴
• Porcentaje de una base. Para hallar un porcentaje de una cantidad, el porcentaje se pasa a decimal (el punto corre dos lugares a la izquierda) y se multiplica por la base. El aumento es la diferencia entre el monto nuevo y el original, y ese aumento se compara con el original, no con el nuevo. ³
• Dos porcentajes seguidos. Cada uno se calcula sobre la base que acaba de quedar. Restar los porcentajes y aplicarlos de una sola vez cambia la base y da otro número. ³

Ejemplos resueltos

Repartir un cable en razón 2:7

Un cable de 36 m se corta en dos partes que están en razón 2:7. ¿Cuánto mide la parte larga?

1. La razón 2:7 compara la parte corta con la larga, no con el cable entero. Escribe la proporción $\frac{\text{corta}}{\text{larga}} = \frac{2}{7}$. ^{1 2}
2. Las dos partes suman 36. Si la larga mide $L$, la corta mide $36 - L$. Queda $\frac{36 - L}{L} = \frac{2}{7}$.
3. Los productos cruzados son iguales: $7(36 - L) = 2L$. Entonces $252 - 7L = 2L$, y $252 = 9L$. ²
4. Comprueba: $L = 28$ m y la corta mide 8 m. La razón $8:28$ simplifica a $2:7$, y $8 + 28 = 36$. La larga no puede pasar de 36.

Pintores y un porcentaje en dos pasos

Cuatro pintores terminan una barda en 12 días, al mismo ritmo. ¿Cuántos días tardan tres?

1. Personas y días varían en forma inversa: menos gente, más días. El producto es la constante. $4 \cdot 12 = 48$. ⁴
2. Con tres pintores, $3d = 48$, así que $d = 16$. No es una proporción directa: ahí el cociente se conservaría y el tiempo bajaría. ⁴
3. Comprueba el sentido: 16 es más que 12. Con menos personas la barda tarda más.

Una playera de 600 pesos sube 10% y luego tiene 10% de descuento sobre el precio nuevo.

1. 10% es 0.10. El aumento es $0.10 \cdot 600 = 60$, así que el precio nuevo es 660. ³
2. El descuento usa esa base nueva: $0.10 \cdot 660 = 66$. El precio final es $660 - 66 = 594$.
3. Comprueba: no es "10% menos 10% = 0". Cada porcentaje tuvo su propia base, y 594 no es 600.

Errores comunes

Tomar 2:7 como dos séptimos del total. Esa fracción compararía una parte con el entero. La razón compara las partes entre sí; el entero es la suma de las partes. ¹

Plantear como directa una situación en la que, al bajar una cantidad, la otra sube. Ahí el producto se conserva, no el cociente. ⁴

Restar dos porcentajes y aplicar la diferencia una sola vez. Un aumento y un descuento se calculan en orden, cada uno sobre la base que acaba de quedar. ³

Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta reparte una longitud en razón $a:b$ y pide la parte mayor. Escribe la proporción de las partes y usa los productos cruzados, o divide el total entre $a + b$ y multiplica por el número de partes que pide el problema. Las dos vías dicen lo mismo si la proporción está bien armada. ²

Otra da personas y días, o una tabla de peso y costo. Si el cociente costo ÷ peso es el mismo en cada renglón, es directa: saca el valor de una unidad y multiplica. Si al bajar una cantidad la otra sube y el producto cuadra, es inversa. ⁴

En un porcentaje doble, aplica el primero, escribe el precio que quedó y solo entonces aplica el segundo. El distractor de "resté los porcentajes" se cae en ese segundo paso.

Resumen

• La razón de $a$ a $b$ se escribe $a:b$ o como fracción, con la misma unidad.
• Una proporción iguala dos razones. Sus productos cruzados coinciden.
• Variación directa: $y = kx$. El cociente no cambia.
• Variación inversa: $y = \frac{k}{x}$. El producto no cambia.
• Un porcentaje se vuelve decimal y se multiplica por su propia base.