Razones trigonométricas

¿Qué lado entra en el seno, en el coseno y en la tangente?

En un triángulo rectángulo hay tres lados con nombre, y el nombre depende del ángulo agudo que estés mirando. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. El lado opuesto a un agudo es el que queda más lejos de ese ángulo. El adyacente es el que está junto a ese ángulo y no es la hipotenusa. Si cambias de agudo, el opuesto y el adyacente se intercambian. La hipotenusa no cambia. ¹

Con un agudo ya marcado, las tres razones se leen así. El seno es el opuesto entre la hipotenusa. El coseno es el adyacente entre la hipotenusa. La tangente es el opuesto entre el adyacente. El libro lo resume con las iniciales de esa frase en inglés, pero la cuenta es la misma en español: opuesto sobre hipotenusa, adyacente sobre hipotenusa, opuesto sobre adyacente. ²

El orden de trabajo, cuando ya tienes los tres lados y un agudo, es corto. Identificas el ángulo, el adyacente, el opuesto y la hipotenusa. Calculas la razón que te pidan. Si falta un lado, primero lo armas con los que sí están, y después formas la razón. ²

Los dos agudos de un rectángulo son complementarios: juntos completan el ángulo que falta para que los tres del triángulo cierren, porque uno de ellos ya es el recto. Si dos ángulos son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro, y al revés. No es una coincidencia de números sueltos. El lado opuesto a un agudo es el adyacente del otro, así que las dos razones usan los mismos dos lados. ³

Hay otra relación que no mezcla lados, sino las dos razones del mismo ángulo. El cuadrado del coseno más el cuadrado del seno es 1. Si conoces una de las dos, puedes despejar la otra. El signo, en un agudo del rectángulo, se queda positivo, porque los lados son longitudes. ⁴

Esas razones suponen el ángulo en grados o en radianes ya convertido. Si el dato vino en la otra unidad, primero usa grados y radianes. Cómo despejar un lado desconocido está en la resolución del rectángulo.

Ideas clave

• Lados. Hipotenusa frente al recto. Opuesto frente al agudo que miras. Adyacente, el otro cateto. ¹
• Seno. Opuesto entre hipotenusa. ²
• Coseno. Adyacente entre hipotenusa. ²
• Tangente. Opuesto entre adyacente. ²
• Complemento. El seno de un agudo es el coseno del otro agudo del mismo rectángulo. ³
• Cuadrados. El cuadrado del seno más el cuadrado del coseno vale 1. ⁴

Ejemplos resueltos

Catetos 8 y 15

El rectángulo tiene catetos de 8 y de 15. El ángulo $\alpha$ está frente al cateto de 8. Halla seno, coseno y tangente de $\alpha$.

1. La hipotenusa es el lado que falta. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$, y $289 = 17^2$. La hipotenusa mide 17. ¹
2. Opuesto a $\alpha$: 8. Adyacente: 15. Hipotenusa: 17.
3. Seno: $8 / 17$. Coseno: $15 / 17$. Tangente: $8 / 15$. ²
4. Comprueba la identidad: $(8 / 17)^2 + (15 / 17)^2 = (64 + 225) / 289 = 1$. ⁴
5. El coseno no es $8 / 17$. Ese es el seno, porque 8 está enfrente.

El otro agudo

En el mismo triángulo, $\beta$ es el agudo de junto al cateto de 8. ¿Cuánto vale $\sin \beta$?

1. Frente a $\beta$ queda el cateto de 15. El de 8 ahora es adyacente. ¹
2. $\sin \beta = 15 / 17$. ²
3. $\alpha$ y $\beta$ son los dos agudos, así que son complementarios. El seno de $\beta$ tiene que ser el coseno de $\alpha$. ³
4. El coseno de $\alpha$ era $15 / 17$. Coincide.
5. Si te piden $\cos \beta$, es $8 / 17$, el seno de $\alpha$.

Una razón conocida

En un rectángulo, $\sin \alpha = 7 / 25$ y $\alpha$ es agudo. Halla $\cos \alpha$.

1. El cuadrado del seno más el cuadrado del coseno vale 1. ⁴
2. $(7 / 25)^2 + \cos^2 \alpha = 1$.
3. $\cos^2 \alpha = 1 - 49 / 625 = (625 - 49) / 625 = 576 / 625$.
4. $\cos \alpha = 24 / 25$. En el agudo del rectángulo el coseno es positivo, porque es una razón de longitudes. ²
5. Tangente: seno entre coseno es $(7 / 25) / (24 / 25) = 7 / 24$, opuesto entre adyacente.

Errores comunes

Usas el cateto opuesto en el coseno. En el triángulo de 8, 15 y 17, el coseno de $\alpha$ es $15 / 17$, no $8 / 17$. El 8 está enfrente de $\alpha$. Ese número es el seno. La tangente tampoco es $8 / 17$: la tangente no lleva hipotenusa. ²

Tomas como hipotenusa el lado más cómodo, no el opuesto al recto. Si el recto está entre los lados de 8 y 15, la hipotenusa es 17. Un cateto nunca es más largo que la hipotenusa. Si tu razón queda mayor que 1 en seno o en coseno, el denominador no era la hipotenusa. ¹

Sumas seno y coseno y esperas 1. Lo que vale 1 es la suma de los cuadrados. $8 / 17 + 15 / 17$ es $23 / 17$, que pasa de 1. Los cuadrados sí cierran en 1. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

Te dan los dos catetos, o un cateto y la hipotenusa, y un ángulo marcado frente a uno de ellos. Piden seno, coseno o tangente. Primero nombras opuesto, adyacente e hipotenusa para ese ángulo, no para el otro. La hipotenusa, si falta, sale de la suma de cuadrados de los catetos.

Los distractores suelen ser la razón de al lado: el seno cuando pedían coseno, la tangente cuando pedían seno, o la fracción volteada. Si la opción es mayor que 1 y la pregunta es seno o coseno, esa opción es un recíproco, no la razón pedida. ²

Otra pregunta compara los dos agudos. El seno de uno es el coseno del otro. No hace falta medir los ángulos en grados para contestar eso. ³

Resumen

• La hipotenusa queda frente al ángulo recto.
• Seno es opuesto entre hipotenusa. Coseno es adyacente entre hipotenusa.
• Tangente es opuesto entre adyacente.
• El seno de un agudo es el coseno del otro agudo.
• El cuadrado del seno más el cuadrado del coseno vale 1.