Triángulos: suma de ángulos y semejanza

¿Cuánto falta para 180° y qué lados se corresponden?

Un triángulo queda limitado por tres rectas que se cortan de dos en dos. Los puntos de corte son los vértices. Cada lado se puede nombrar con la letra minúscula del vértice que tiene enfrente. Los tres ángulos interiores, los que se arman con dos lados y quedan dentro de la figura, suman siempre $180^{\circ}$:

$$m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ}.$$

El portal lo comprueba moviendo los vértices: la suma no cambia. La misma cuenta sale al partir la figura: un triángulo es un solo triángulo, y $180^{\circ}$ por uno da $180^{\circ}$. ^{1 3 4}

Si el triángulo es rectángulo, uno de los interiores mide $90^{\circ}$. Los otros dos suman lo que falta para $180^{\circ}$, así que se complementan: basta conocer uno para obtener el otro. Esos dos son agudos. El lado de enfrente del recto es la hipotenusa, y los otros dos son los catetos. En ese triángulo, si $c$ es la hipotenusa, $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. ^{4 6}

El exterior

Un ángulo exterior se construye al prolongar un lado más allá del vértice. Queda junto al interior de ese vértice, sobre la recta prolongada, así que ese par suma $180^{\circ}$. La propiedad que ahorra el paso es otra: el exterior es igual a la suma de los dos interiores que no son adyacentes a él. Los tres exteriores, uno en cada vértice, suman $360^{\circ}$. ²

En un isósceles, dos interiores miden lo mismo. Estas fichas no nombran cuál par es el igual cuando el enunciado no lo dice: el dato tiene que marcar el ángulo desigual o los lados iguales. Con la suma de $180^{\circ}$ y esa igualdad se despeja el que falta. ¹

Semejanza

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma y pueden diferir en el tamaño. Una es un modelo a escala de la otra. En dos triángulos semejantes, los ángulos que se corresponden miden lo mismo y los lados que se corresponden están en la misma razón. El portal llama homólogos a esos lados y escribe la proporción de sus longitudes. El criterio AAA dice que, si los tres pares de ángulos coinciden, los triángulos son semejantes. Como cada terna suma $180^{\circ}$, dos pares iguales obligan al tercero. ^{4 5}

La razón se arma emparejando lados que están frente al mismo ángulo, o entre los mismos vértices correspondientes. Si inviertes un solo par, la proporción deja de servir. En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, y de ahí se despeja el lado que falta. ⁵

Las razones seno, coseno y tangente, que comparan lados de un rectángulo, están en razones trigonométricas. Aquí la herramienta es la suma de ángulos y la proporción de los semejantes, no el nombre de la razón trigonométrica. El complemento y el suplemento, que uses al pasar del interior al exterior, están en ángulos.

Ideas clave

• Suma. Los tres interiores de cualquier triángulo suman $180^{\circ}$. ¹
• Rectángulo. Un interior es $90^{\circ}$ y los otros dos suman $90^{\circ}$. Los catetos y la hipotenusa cumplen $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. ⁶
• Exterior. Igual a la suma de los dos interiores no adyacentes, y suplemento del interior de junto. ²
• Semejanza. Ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes en la misma razón. ⁴
• AAA. Tres pares de ángulos iguales bastan. Con dos pares, el tercero ya está forzado por la suma. ⁵

Ejemplos resueltos

Valla de tres postes

Una valla triangular tiene un ángulo de $35^{\circ}$ y otro de $65^{\circ}$. El tercer ángulo es el que queda junto a la puerta. Al prolongar el lado de la puerta, ¿cuánto mide el exterior de ese vértice?

1. El interior que falta: $180^{\circ} - 35^{\circ} - 65^{\circ} = 80^{\circ}$. ¹
2. El exterior de ese vértice es el suplemento del interior: $180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
3. La otra cuenta, sin hallar el interior: el exterior es la suma de los dos que no lo tocan, $35^{\circ} + 65^{\circ} = 100^{\circ}$. ²

Caja y lámpara

Una lámpara alta y una caja baja reciben la misma luz en el mismo instante, así que los triángulos de luz son semejantes. La caja mide $0{,}9$ m de alto y su sombra mide $1{,}5$ m. La sombra de la lámpara mide $4$ m. ¿Qué altura tiene la lámpara hasta el foco?

1. Empareja altura con altura y sombra con sombra. La razón es la misma. ⁴
2. $\dfrac{h}{4} = \dfrac{0{,}9}{1{,}5}$.
3. $0{,}9 / 1{,}5 = 0{,}6$, así que $h = 4 \cdot 0{,}6 = 2{,}4$.
4. La lámpara mide $2{,}4$ m hasta el foco. Si hubieras escrito $\dfrac{h}{0{,}9} = \dfrac{1{,}5}{4}$, habrías cruzado sombra con altura y el resultado no correspondería. ⁵

Escalón recto

Un escalón en escuadra tiene catetos de $9$ cm y $12$ cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa, el canto del escalón?

1. El ángulo de la escuadra es el recto, así que la hipotenusa es el lado que falta. ⁶
2. $c^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$.
3. $c = 15$, porque $15^{2} = 225$ y la longitud es positiva.
4. El canto mide $15$ cm.

Errores comunes

• Sumar los datos y dar esa suma como el tercer ángulo. El tercero es lo que falta para $180^{\circ}$, no la suma de los otros dos. Esa suma es el exterior. ^{1 2}
• Creer que el exterior es uno de los interiores remotos, o solo el mayor de ellos. Es la suma de los dos. ²
• Armar la proporción con lados que no se corresponden: el lado chico de un triángulo con el lado grande del otro, cuando los ángulos de enfrente no coinciden. ⁴
• Usar $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ en un triángulo que no tiene ángulo recto. Sin el recto, $c$ no es hipotenusa. ⁶

Cómo lo pregunta el examen

Te dan dos interiores y piden el tercero, o te dan el desigual de un isósceles y piden cada uno de los iguales: restas de $180^{\circ}$ y repartes lo que queda. En la figura con un lado prolongado, el ángulo de afuera es el exterior: súmalo con los dos remotos o resta el interior adyacente de $180^{\circ}$. En semejanza, dos figuras a distinta escala, como una vara y su sombra junto a un poste, piden la misma razón de lados correspondientes. ^{2 5}

Resumen

• Los interiores de un triángulo suman $180^{\circ}$, aunque muevas los vértices. ¹
• En el rectángulo, los dos agudos se complementan y los catetos cumplen el teorema con la hipotenusa. ⁶
• El exterior iguala a los dos interiores que no lo tocan. ²
• Los tres exteriores de un triángulo suman $360^{\circ}$. ²
• En los semejantes, los ángulos correspondientes coinciden y los lados homólogos guardan una sola razón. ^{4 5}