Ángulos complementarios, suplementarios y entre paralelas

¿Qué pareja suma 90°, cuál suma 180° y cuál se copia entre paralelas?

Un ángulo es la figura de dos semirrectas con un extremo en común. Ese extremo es el vértice y las semirrectas son los lados. Se mide por el giro de un lado hacia el otro. En el sistema sexagesimal la circunferencia se parte en 360 grados: un grado es un trescientos sesentaavo de una vuelta completa, y la vuelta entera mide $360^{\circ}$. ²

Parejas que no necesitan paralelas

Los complementarios son los que suman $90^{\circ}$. Completan un ángulo recto. Si uno mide $a$, el otro mide $90^{\circ} - a$. Los suplementarios son los que suman $180^{\circ}$. Si uno mide $a$, el otro mide $180^{\circ} - a$. OpenStax escribe la misma pareja con la suma de las medidas: suplementarios cuando esa suma es $180^{\circ}$ y complementarios cuando es $90^{\circ}$. ^{1 6}

Los adyacentes comparten un lado y el vértice, y los lados que no comparten quedan sobre una misma recta. Por eso un par adyacente de ese tipo es suplementario: juntos arman el llano. Los opuestos por el vértice comparten el vértice y cada lado de uno es la prolongación de un lado del otro. Esos dos miden lo mismo, aunque las rectas no sean paralelas. En el cruce, si un ángulo es $\angle COA$, su opuesto $\angle BOD$ coincide con él. ¹

La transversal y la franja

Dos rectas distintas del mismo plano que no se cortan son paralelas. La recta que las atraviesa es la transversal. En cada cruce nacen cuatro ángulos, y los opuestos por el vértice de un mismo cruce ya coinciden. Lo nuevo es comparar un cruce con el otro. ⁵

Los correspondientes ocupan el mismo puesto en cada cruce: los dos arriba a la derecha de la transversal, o los dos abajo a la izquierda, y así con las otras dos posiciones. Si las rectas son paralelas, cada par de correspondientes mide lo mismo. A partir de eso, los alternos internos también coinciden: están dentro de la franja y en lados opuestos de la transversal. Se llega a ellos porque un correspondiente iguala al ángulo del otro cruce y el opuesto por el vértice lo pasa al lado contrario. Los alternos externos hacen lo mismo fuera de la franja. ^{5 4}

Los interiores del mismo lado de la transversal, en cambio, no se copian: se suplementan. El portal lo muestra con una pareja de $62^{\circ}$ y otra de $118^{\circ}$ que juntas dan $180^{\circ}$. El postulado de las paralelas mira esa misma pareja al revés: si los interiores de un mismo lado suman menos de $180^{\circ}$, las rectas se cortan de ese lado al prolongarlas; si suman justo $180^{\circ}$, son paralelas. ^{3 4}

Con un solo dato entre paralelas alcanzan los ocho ángulos. Los cuatro de una familia coinciden y los otros cuatro son su suplemento, porque en cada cruce los vecinos sobre la recta suman el llano. ^{4 1}

Ideas clave

• Complemento. Se resta de $90^{\circ}$. El suplemento se resta de $180^{\circ}$. ^{1 6}
• Opuestos. En un cruce, los de enfrente miden lo mismo sin pedir paralelas. ¹
• Correspondientes. Misma posición respecto de la transversal. Entre paralelas son iguales. ⁵
• Alternos. Internos o externos, en lados opuestos de la transversal, también iguales si hay paralelas. ⁴
• Mismo lado. Los interiores de un solo lado de la transversal suman $180^{\circ}$ cuando las rectas son paralelas. ³

Ejemplos resueltos

Marco de una ventana

En la esquina de un marco, un ángulo mide $28^{\circ}$. ¿Cuánto mide el que lo completa hasta el recto, y cuánto el que lo completa hasta el borde recto del marco?

1. El que completa el recto es el complemento: $90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$. ¹
2. El que completa el borde recto es el suplemento: $180^{\circ} - 28^{\circ} = 152^{\circ}$. ⁶
3. Comprueba las sumas: $28 + 62 = 90$ y $28 + 152 = 180$.

Cruce de dos listones

Dos listones se cruzan. Uno de los ángulos mide $2x + 8$ grados y el opuesto por el vértice mide $4x - 20$ grados. ¿Cuánto miden esos dos?

1. Los opuestos por el vértice son iguales, así que $2x + 8 = 4x - 20$. ¹
2. $8 + 20 = 4x - 2x$, luego $28 = 2x$ y $x = 14$.
3. Sustituye: $2(14) + 8 = 36$. El otro da $4(14) - 20 = 36$.
4. Los dos miden $36^{\circ}$. El par vecino mide $180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$.

Dos orillas y un puente

Dos orillas rectas son paralelas y un puente las corta. En la orilla de arriba, el ángulo entre la orilla hacia la derecha y el puente hacia arriba mide $72^{\circ}$. Abajo, del otro lado del puente, el ángulo interior de la izquierda es el que buscas.

1. El correspondiente del de $72^{\circ}$ está abajo, del mismo lado del puente, y también mide $72^{\circ}$. ⁵
2. El ángulo buscado comparte con ese correspondiente el vértice y arma el borde de la orilla, así que es su suplemento: $180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. ⁴
3. También es un interior del mismo lado que un alterno del dato, y $72^{\circ} + 108^{\circ} = 180^{\circ}$.

Errores comunes

• Restar de $90^{\circ}$ cuando el enunciado dice suplementarios, o de $180^{\circ}$ cuando dice complementarios. El nombre dice de qué número se resta. ¹
• Igualar un ángulo con su vecino sobre la misma recta. El vecino es el suplemento. El que se copia es el opuesto, del otro lado del vértice. ¹
• Tomar como correspondiente el ángulo que está del otro lado de la transversal. Ese puede ser alterno, y solo coincide si además está en la franja correcta. Si dudas, marca la misma esquina en los dos cruces. ⁵
• Declarar paralelas porque dos ángulos cualesquiera suman $180^{\circ}$. La prueba del postulado pide los interiores de un mismo lado de la transversal. ³

Cómo lo pregunta el examen

El reactivo da un ángulo y pide el complemento o el suplemento, o arma una ecuación del tipo "el suplemento es tantas veces el complemento". Escribes $90^{\circ} - x$ y $180^{\circ} - x$ y despejas. Otra forma pone expresiones en opuestos por el vértice y pide igualarlas, no sumarlas a $180^{\circ}$. Con paralelas, la figura marca un ángulo y pregunta otro: decides si es correspondiente, alterno o co-interno antes de copiar o de restar de $180^{\circ}$. ^{1 4}

Resumen

• Complementarios suman $90^{\circ}$ y suplementarios suman $180^{\circ}$. ⁶
• Los opuestos por el vértice coinciden en cualquier cruce de dos rectas. ¹
• Una transversal es la recta que corta a las dos paralelas. ⁵
• Correspondientes y alternos, internos o externos, miden lo mismo entre paralelas. ⁴
• Los interiores del mismo lado suman $180^{\circ}$, y esa suma es la que delata a las paralelas. ³