Ángulos, arcos y tangentes en la circunferencia

¿Qué mide el centro, qué mide el punto sobre la curva y qué mide el arco?

La circunferencia es el lugar de los puntos de un plano que están a una distancia fija $r$ de un centro. Esa distancia es el radio: el segmento que va del centro a un punto de la circunferencia. El círculo incluye, además, los puntos de adentro. Una cuerda une dos puntos de la circunferencia. La cuerda que pasa por el centro es el diámetro, la mayor de las cuerdas, y es igual a dos radios: $d = 2r$. Un arco es la porción de circunferencia entre dos puntos. Una secante corta la circunferencia en dos puntos. Una tangente la intersecta en uno solo, el punto de tangencia o de contacto. ¹

Central e inscrito

En la construcción del portal, el ángulo central tiene el vértice en el centro. El ángulo inscrito tiene el vértice sobre la circunferencia y sus lados llegan a otros dos puntos de ella. El teorema del ángulo central dice que la medida del inscrito es la mitad de la medida del central cuando los dos abren el mismo arco. Si el central es $\alpha$ y el inscrito es $\beta$, entonces $\beta = \tfrac{1}{2}\alpha$. ²

El grado sexagesimal sale de partir la circunferencia en 360 partes. Un ángulo de $1^{\circ}$ es un trescientos sesentaavo de una rotación completa, y la rotación completa mide $360^{\circ}$. Por eso la medida angular del arco que abre un central es la medida de ese central: el central de una vuelta entera corresponde al arco de la circunferencia completa. ⁴

La longitud de esa circunferencia completa es $C = 2\pi r$. OpenStax también escribe el área del círculo, $A = \pi r^{2}$, y aproxima $\pi$ con $3{,}14$ o con $22/7$ según el radio venga en decimal o en fracción. La longitud de un arco que corresponde a un central de $k$ grados es la misma fracción de la vuelta:

$$L = 2\pi r \cdot \frac{k}{360}.$$

El $k/360$ es la fracción de la rotación completa, y $2\pi r$ es la longitud de esa rotación. Estas fichas no cambian la fórmula cuando el ángulo está en radianes: el material de medida que se cita aquí trabaja en grados. ^{4 5}

La tangente y el radio

En el punto de tangencia, la tangente es perpendicular al radio que termina ahí. El radio y el segmento de tangente forman un ángulo recto. Si además conoces la distancia del centro a un punto exterior por donde pasa la tangente, el triángulo que arman el radio, la tangente y esa distancia es rectángulo, con hipotenusa en la distancia al centro. Ahí se usa $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, con $c$ la hipotenusa. ^{3 6}

El suplemento, por si un dato cae del otro lado de una recta, está en ángulos. El área del círculo, cuando el reactivo pide superficie y no arco, se retoma en perímetros y áreas.

Ideas clave

• Radio y diámetro. El radio va del centro a la curva. El diámetro pasa por el centro y mide $2r$. ¹
• Inscrito. Mide la mitad del central que abre el mismo arco. ²
• Grado. Una vuelta son $360^{\circ}$. Un grado es una de esas partes. ⁴
• Longitud. La curva completa mide $2\pi r$. Un arco de $k$ grados mide esa longitud por $k/360$. ⁵
• Tangente. Toca en un punto y es perpendicular al radio en ese punto. ³

Ejemplos resueltos

Reloj y ángulo en el borde

En una circunferencia, el ángulo central que abre un arco mide $80^{\circ}$. Un punto del borde, del otro lado, ve ese mismo arco. ¿Cuánto mide el ángulo en ese punto?

1. El ángulo del borde, con vértice en la circunferencia y lados hacia los extremos del arco, es el inscrito. ²
2. El teorema dice que mide la mitad del central: $80^{\circ} / 2 = 40^{\circ}$.
3. No copies los $80^{\circ}$. Esa medida es la del centro.

Cuerda de una rueda

Una rueda tiene radio de $6$ cm. Un ángulo central de $60^{\circ}$ marca un arco en la llanta. ¿Cuánto mide ese arco, y cuánto el diámetro?

1. El diámetro es dos radios: $2 \cdot 6 = 12$ cm. ¹
2. La llanta completa mide $2\pi r = 12\pi$ cm. ⁵
3. $60^{\circ}$ es $60/360 = 1/6$ de la vuelta. ⁴
4. El arco mide $12\pi \cdot \dfrac{1}{6} = 2\pi$ cm.

Listón que roza la rueda

Desde un punto a $15$ cm del centro de una rueda de radio $9$ cm sale un listón que toca la rueda en un solo punto. ¿Cuánto mide el listón desde ese punto de contacto hasta el punto exterior?

1. El listón es tangente: toca en un solo punto. El radio a ese punto es perpendicular al listón. ³
2. El triángulo tiene cateto $9$, hipotenusa $15$ y cateto desconocido $x$, el listón. ⁶
3. $x^{2} + 9^{2} = 15^{2}$. $x^{2} = 225 - 81 = 144$. $x = 12$.
4. El listón mide $12$ cm. Restar $15 - 9$ daría $6$, y eso no es un lado del rectángulo.

Errores comunes

• Igualar el inscrito al central, o duplicarlo. El inscrito es la mitad. ²
• Usar el diámetro como si fuera el radio en $2\pi r$. Si el dato es el diámetro, primero lo partes entre dos. ^{1 5}
• Pedir el área $\pi r^{2}$ cuando el enunciado pide la longitud del arco. El área es superficie. El arco es una longitud, fracción de $2\pi r$. ⁵
• Tratar la tangente como si cortara en dos puntos, o como si el radio llegara inclinado. En el contacto, el ángulo con el radio es recto, y la que corta dos veces es la secante. ³

Cómo lo pregunta el examen

La figura marca el central y pide el inscrito del mismo arco: divides entre dos. Otra da el radio y los grados del central y pide la longitud del arco: armas la fracción sobre $360$ y la multiplicas por $2\pi r$. Una tercera pone la tangente, el radio y la distancia del centro al punto exterior, con el recto en el contacto, y pide el tramo de tangente con el teorema del triángulo rectángulo. Si el número que obtienes es el área, revisa si el enunciado decía longitud. ^{2 5 6}

Resumen

• Radio, cuerda, diámetro, arco, secante y tangente se distinguen por cuántos puntos usan. ¹
• El inscrito mide la mitad del central del mismo arco. ²
• Una vuelta completa son $360^{\circ}$ y su longitud es $2\pi r$. ^{4 5}
• El arco de $k$ grados mide $2\pi r \cdot k/360$. ⁵
• La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. ³