Ángulos interiores y exteriores de polígonos

¿Cuántos triángulos caben y cuánto suma eso?

Un polígono de tres lados es un triángulo, y sus interiores suman $180^{\circ}$. Para un polígono con más lados, el portal no da otra suma fija: pide contar cuántos triángulos puedes formar dentro, sin encimarlos, de modo que cubran la figura. La tabla empieza así. ^{1 5}

El de 5 lados forma 3 triángulos y el de 6 forma 4. En los cuatro casos, el número de triángulos es el número de lados menos 2. Si el polígono tiene $n$ lados, la suma de los interiores es

$$S = (n - 2) \cdot 180^{\circ}.$$

Esa es la regla que el ejercicio pide armar para un polígono de $n$ lados, con $S$ la suma y $n$ el número de lados. ^{1 2}

Cuando todos los interiores miden lo mismo

La suma $S$ es de todos los interiores juntos. El ejercicio llama $\alpha$ a la medida de cada interior y pide la regla general. Si los interiores miden lo mismo, cada uno es la suma repartida entre los $n$ ángulos:

$$\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}.$$

Si no miden lo mismo, la suma sigue valiendo $S$, pero un interior suelto no se obtiene dividiendo. Hace falta otro dato. ²

El exterior de un vértice

En el triángulo, el exterior se construye al prolongar un lado más allá del vértice. Ese exterior y el interior del mismo vértice comparten el vértice y un lado, y los otros dos lados quedan sobre la recta prolongada: son adyacentes de ese tipo, y su suma es $180^{\circ}$. La misma construcción, prolongar un lado, deja en un polígono de más lados un exterior que suplementa al interior de ese vértice. Los tres exteriores de un triángulo, uno por vértice, suman $360^{\circ}$. Estas fichas no dan esa suma de $360^{\circ}$ para un polígono de más de tres lados: dan el exterior de un vértice como $180^{\circ}$ menos el interior de ese vértice. ^{3 4}

Estas fichas tampoco cuentan diagonales. El número de diagonales vive en otra página del mismo bloque de patrones, y aquí no se abre.

La suma de un solo triángulo, que es el ladrillo de la cuenta, está en triángulos y semejanza. El suplemento que pasa del interior al exterior está en ángulos.

Ideas clave

• Conteo. Un polígono de $n$ lados se parte en $n - 2$ triángulos que lo cubren sin traslaparse, en los casos de 3, 4, 5 y 6 lados. ^{1 2}
• Suma. $S = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$. ²
• Uno por uno. Si los interiores son iguales, cada uno es $S / n$. ²
• Exterior. Al prolongar el lado, el exterior y el interior de ese vértice suman $180^{\circ}$. ^{3 4}
• Triángulo. Sus tres exteriores suman $360^{\circ}$. Para más lados, estas fichas no fijan la suma de los exteriores. ³

Ejemplos resueltos

Hexágono de un mosaico

Un mosaico usa hexágonos en los que todos los interiores miden lo mismo. ¿Cuánto mide cada interior y cuánto el exterior de un vértice?

1. $n = 6$. Triángulos: $6 - 2 = 4$. ²
2. Suma: $4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$.
3. Cada interior: $720^{\circ} / 6 = 120^{\circ}$.
4. El exterior de ese vértice: $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. ⁴

Lote de siete lados

Un lote tiene 7 lados. No te dicen que los ángulos sean iguales. ¿Cuánto suman los interiores?

1. Triángulos: $7 - 2 = 5$. La regla es la de $n$ lados, la que el ejercicio pide a partir de los casos ya contados. ²
2. Suma: $5 \cdot 180^{\circ} = 900^{\circ}$.
3. Sin el dato de que sean iguales, no divides entre 7. La respuesta es la suma, $900^{\circ}$.

Dos interiores conocidos en un cuadrilátero

Un terreno de 4 lados tiene interiores de $80^{\circ}$, $100^{\circ}$ y $110^{\circ}$. ¿Cuánto mide el cuarto?

1. La suma de un cuadrilátero es $2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$. ¹
2. Lo que ya tienes: $80 + 100 + 110 = 290$.
3. El cuarto: $360 - 290 = 70$. Mide $70^{\circ}$.
4. No dividas $360$ entre 4: estos interiores no miden lo mismo. ²

Errores comunes

• Multiplicar $180^{\circ}$ por $n$, o por $n - 1$. Los casos del portal restan 2: 5 lados dan 3 triángulos, no 4 ni 5. ²
• Dividir la suma entre $n$ cuando el polígono no tiene los interiores iguales. La división reparte solo si cada interior es el mismo. ²
• Dar el exterior como si fuera el interior, o restarlo de $360^{\circ}$. El par interior-exterior de un vértice suma $180^{\circ}$, no $360^{\circ}$. ⁴
• Sumar los exteriores de un hexágono hasta $360^{\circ}$ con la regla del triángulo. El portal fija esa suma de exteriores para el triángulo. ³

Cómo lo pregunta el examen

Te dan el nombre del polígono, o el número de lados, y piden un interior cuando la figura es regular, es decir, cuando los interiores son iguales. Calculas $S$ y divides entre $n$. Si piden el exterior de un vértice, restas ese interior de $180^{\circ}$. Otra forma da varios interiores de un cuadrilátero y pide el que falta: usas la suma $360^{\circ}$ y restas los datos. Una figura compuesta, dos polígonos que comparten un lado, pide sumar o restar interiores alrededor de un punto; el giro completo de una vuelta es $360^{\circ}$, el de la medida del ángulo. ^{2 4}

Resumen

• Dentro de un polígono de $n$ lados caben $n - 2$ triángulos, como en los de 3, 4, 5 y 6 lados. ^{1 2}
• La suma de los interiores es $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$. ²
• Si los interiores son iguales, cada uno es esa suma entre $n$. ²
• El exterior de un vértice suplementa al interior de ese mismo vértice. ⁴
• La suma de los exteriores queda fijada en $360^{\circ}$ para el triángulo. ³