Problemas de razonamiento de varios pasos

¿Cómo se resuelve un problema que junta dos o tres pasos?

El enunciado trae varios datos y una pregunta que no sale de sumarlos. Antes de operar, se nombra lo que se busca. Una letra representa un número cuyo valor no está dado o puede cambiar. Esa letra es la incógnita, y el resto de los datos se escribe a partir de ella. Esa traducción es la de nombrar la incógnita. ¹

Tres tipos se repiten en este tema. El primero junta relojes o salidas que se repiten cada cierto tiempo: se quiere el primer momento en que coinciden otra vez. El segundo junta dos trabajadores o dos llaves sobre el mismo trabajo. El tercero cambia un precio dos veces, con un porcentaje distinto en cada paso. El porcentaje de una cantidad, y la base sobre la que se calcula, está en el porcentaje sobre su base.

Para el mínimo común múltiplo, el libro usa factores primos. Se escribe cada número como producto de primos. Se alinean esos primos. En el mínimo común entra cada primo, y un primo repetido entra tantas veces como en el número que más veces lo trae. Un primo compartido no se copia de los dos números: con una sola copia, la mayor, basta. Después se multiplican esos factores. ¹

Para el trabajo, la idea es la fracción hecha en una hora. Si una persona termina sola en $a$ horas y trabaja a ritmo constante, en una hora hace $1/a$ del trabajo. Otra que tardaría $b$ horas hace $1/b$ en una hora. Juntas, sin estorbarse, en una hora hacen la suma de esas fracciones. Si $t$ es el tiempo en que terminan juntas, en una hora hacen $1/t$. La ecuación iguala esa suma con $1/t$. El tiempo junto tiene que ser menor que el tiempo de cualquiera de las dos sola. ²

Para el precio, el porcentaje entra a la ecuación como decimal. Un recargo es un porcentaje del costo de ese momento: el monto del recargo es la tasa por el costo, y el precio de lista es el costo más ese monto. Un descuento es un porcentaje del precio anterior a esa rebaja: el monto es la tasa por ese precio, y el precio de venta es el precio anterior menos el monto. El segundo porcentaje no usa el precio del principio si el enunciado dice que se aplica al precio ya cambiado. ³

Ideas clave

• El mínimo común múltiplo se arma con los primos de cada número, tomando de cada primo la mayor cantidad de veces que aparece. ¹
• Multiplicar los números entre sí da un múltiplo común, no por fuerza el menor. ¹
• Quien acaba solo en $a$ horas hace $1/a$ del trabajo en una hora. Las partes de una hora se suman. ²
• Si juntas tardan $t$ horas, entonces la suma de las partes por hora es $1/t$, y $t$ es menor que cada tiempo individual. ²
• El recargo suma tasa por costo. El descuento resta tasa por el precio de ese paso. El porcentaje va en decimal. ³
• "De lo que queda" multiplica la fracción por el resto, no por el total inicial. En la ecuación, "de" se traduce como multiplicación. ³

Ejemplos resueltos

Tres salidas que vuelven a coincidir

Un camión pasa cada 8 minutos, otro cada 12 y otro cada 18. Salen juntos a las 7:00. Se busca la próxima hora en que los tres salen otra vez juntos. No se suman 8 + 12 + 18. Se factoriza. 8 = 2 · 2 · 2. 12 = 2 · 2 · 3. 18 = 2 · 3 · 3. El primo 2 entra tres veces, porque 8 es el que más doses tiene. El primo 3 entra dos veces, porque 18 es el que más treses tiene. El mínimo común múltiplo es 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72. ¹

Coinciden 72 minutos después de las 7:00, es decir a las 8:12. El producto 8 · 12 · 18 = 1728 minutos es un múltiplo común, pero es de más de un día y no es el primero. 72 sí es múltiplo de los tres: 72 / 8 = 9, 72 / 12 = 6 y 72 / 18 = 4.

Dos bombas sobre el mismo tanque

Una bomba llena un tanque en 5 horas. Otra lo llena en 20 horas. Trabajan a la vez y no se estorban. En una hora la primera hace 1/5 del tanque y la segunda hace 1/20. Juntas hacen 1/5 + 1/20. El común de los denominadores es 20: 4/20 + 1/20 = 5/20 = 1/4. Si en una hora completan 1/4, terminan en 4 horas. ²

Sumar 5 + 20 = 25 horas va al revés: dos bombas no pueden tardar más que la bomba rápida. El tiempo junto, 4, es menor que 5 y menor que 20. Esa comparación es la comprobación del libro para este tipo de problema.

Un recargo y después un descuento

Una chamarra entra a la tienda con costo de 500 pesos. La tienda le carga 20 % y, ya con ese precio, la pone en descuento de 20 %. El 20 % entra como 0.20. El recargo es 0.20 · 500 = 100, así que el precio de lista es 500 + 100 = 600. El descuento ya no usa 500. Usa el precio de ese paso, 600: 0.20 · 600 = 120. El precio de venta es 600 - 120 = 480. ³

No regresa a 500. El recargo de 100 pesos y el descuento de 120 pesos no son el mismo monto, porque las bases son distintas. Restar los porcentajes, 20 - 20 = 0, y dejar el precio en 500, contesta otra pregunta: un recargo y un descuento del mismo porcentaje sobre la misma base. Aquí las bases cambiaron.

Errores comunes

Quedarse con el producto de los periodos. 8 · 12 · 18 es múltiplo de los tres, y por eso parece correcto, pero el mínimo exige no repetir primos de más. Si el primo 2 ya entró tres veces por el 8, los doses del 12 no se vuelven a copiar. ¹

Sumar las horas de las dos bombas, o promediarlas. El modelo suma las fracciones de trabajo por hora, no los tiempos. El resultado tiene que ser más corto que el tiempo de la más rápida. Si sale más largo, se sumaron las horas. ²

Calcular los dos porcentajes sobre el precio inicial. En la chamarra, 20 % de 500 es 100 en los dos pasos, y 500 + 100 - 100 vuelve a 500. Eso sería válido si el descuento también dijera "sobre el costo". El enunciado lo aplica al precio ya recargado, y la definición de descuento usa el precio anterior a esa rebaja. ³

Tomar dos fracciones "de lo que queda" como si las dos fueran del total. Si alguien gasta un quinto del dinero y después un tercio de lo que le quedó, el tercio multiplica al resto, no al dinero inicial. "De" se traduce como por. Sobre 300 pesos, un quinto son 60 y quedan 240. Un tercio de 240 son 80, y quedan 160. Un tercio del total habrían sido 100, y esa cuenta no es la del enunciado. ³

Cómo lo pregunta el examen

Lee qué se pide antes de tocar la calculadora. Si varios ciclos vuelven a empezar juntos, factoriza y arma el mínimo común múltiplo. Si dos agentes hacen el mismo trabajo, escribe la fracción de cada uno en una hora y suma. Si un precio cambia dos veces, aplica el primer porcentaje, escribe el precio nuevo, y aplica el segundo sobre ese precio nuevo.

En las opciones, desconfía del producto de los tiempos, de la suma de las horas y de la respuesta que deja el precio igual después de subir y bajar el mismo porcentaje. Esas tres cuentas son estables: salen siempre igual de rápido y por eso se cuelan. La comprobación cabe en un renglón. 72 tiene que ser múltiplo de 8, de 12 y de 18. 4 horas tiene que ser menos que 5. 480 no es 500.

Si el enunciado dice "de lo que quedaba", subraya esa frase. La segunda fracción no ve el total. Ve el resto, que ya trae descontada la primera parte.

Resumen

• El mínimo común múltiplo toma, de cada primo, las veces del número que más las trae.
• El producto de los datos es un múltiplo común, y suele sobrar.
• En una hora, cada quien hace uno entre sus horas; esas partes se suman y de ahí sale el tiempo junto.
• Un recargo suma y un descuento resta, cada uno sobre el precio de su propio paso.
• La segunda fracción, si es de lo que queda, multiplica al resto y no al total.