Patrones con figuras que crecen

¿Cómo se cuenta una figura que todavía no está dibujada?

El reactivo dibuja tres o cuatro figuras y pide cuántas piezas tiene una figura posterior, a veces la 15 o la 20. Dibujarla completa es lento. Lo que se dibuja, en cambio, alcanza para armar una lista: el primer número es el conteo de la figura 1, el segundo es el de la figura 2, y así. Esa lista es una sucesión, y la figura que piden es un lugar n. La fórmula de ese lugar está en la fórmula del lugar. ²

El primer trabajo es contar con cuidado lo que sí se ve. Un palillo compartido por dos figuras vecinas se cuenta una vez. Un punto de una esquina que pertenece a dos lados se cuenta una vez si la pregunta es por puntos, y no se cuenta como lado. La pregunta dice qué hay que contar: palillos, cuadros, puntos o mesas. Cambiar la unidad a la mitad del ejercicio produce otra lista.

Con la lista escrita, se restan vecinos. Si la diferencia es común, el conteo es una sucesión aritmética. El término del lugar n es $a_n = a_1 + (n - 1)d$, con $a_1$ el conteo de la figura 1 y $d$ lo que se agrega en cada figura nueva. ²

Si la diferencia no es común, el libro pide buscar múltiplos o potencias. Aquí eso se vuelve un producto del número de figura. Una candidata se acepta solo cuando, al sustituir 1, 2 y 3, devuelve los conteos que ya contaste en el dibujo. Si falla la figura 1, no sirve para la figura 15 aunque el número se vea grande y redondo. ¹

Estas fichas no describen los dibujos de opción múltiple del banco. Enseñan el conteo. En el examen, el dibujo concreto manda: se cuentan sus piezas y se arma la lista de ese dibujo, no la de otro ejercicio.

Ideas clave

• La figura 1 es el lugar 1. Su conteo es $a_1$, no un término cero. ²
• Una pieza compartida se cuenta una sola vez. ¹
• Si cada figura nueva agrega la misma cantidad, la diferencia es común y $a_n = a_1 + (n - 1)d$. ²
• Si el aumento cambia, se prueba un producto o una potencia del número de figura. ¹
• La fórmula tiene que reproducir las figuras ya dibujadas antes de usarse en una figura lejana. ¹
• La unidad que se cuenta es la que nombra la pregunta: palillos, cuadros o puntos. ¹

Ejemplos resueltos

Palillos en una fila de triángulos

Con palillos se arma una fila de triángulos que comparten un lado. La figura 1 es un triángulo: 3 palillos. La figura 2 pega otro triángulo: agrega 2 palillos, porque un lado ya estaba. La figura 3 agrega otros 2. Los conteos son 3, 5 y 7. ²

Las restas son 2 y 2. La diferencia común es 2 y el primer término es 3. La fórmula es $a_n = 3 + (n - 1) \cdot 2$, que también se escribe $a_n = 2n + 1$. Las dos tienen que coincidir en la figura 1: $2 \cdot 1 + 1 = 3$. La figura 15 no se dibuja. $a_{15} = 2 \cdot 15 + 1 = 31$ palillos. ²

Quien suma 3 palillos por figura, como si no compartieran lado, obtiene $3 \cdot 15 = 45$. Ese número cuenta de nuevo el lado compartido. El dibujo de la figura 2 lo contradice: ahí no hay 6 palillos, hay 5.

Puntos en un rectángulo de n por n + 2

La figura n es un rectángulo de puntos con n filas y n + 2 columnas. La figura 1 tiene 1 fila y 3 columnas: 3 puntos. La figura 2 tiene 2 filas y 4 columnas: 8 puntos. La figura 3 tiene 3 filas y 5 columnas: 15 puntos. La figura 4 tiene 4 filas y 6 columnas: 24 puntos. ¹

Las restas 5, 7 y 9 no coinciden. No hay diferencia común, así que no se usa la fórmula del salto fijo. El conteo es el producto filas por columnas: $a_n = n(n + 2)$. Sustituir lo confirma. Lugar 1: $1 \cdot 3 = 3$. Lugar 2: $2 \cdot 4 = 8$. Lugar 3: $3 \cdot 5 = 15$. La figura 7, que no hace falta dibujar punto por punto, tiene $7 \cdot 9 = 63$ puntos. ¹

Sumar "el aumento promedio" no está en la definición. El aumento cambia, y el producto del número de figura es la regla que el dibujo está usando.

Comprobar una fórmula antes de la figura grande

Alguien propone, para los triángulos, $a_n = 2n + 3$ porque "crece de 2 en 2 y hay un 3 por ahí". En la figura 1 esa expresión da 5, y el triángulo solo tiene 3 palillos. Se descarta, aunque el crecimiento de 2 en 2 sea correcto. El 3 de la figura 1 ya es el primer término, y la fórmula $2n + 1$ lo respeta. ²

La misma disciplina vale para el rectángulo. $n(n + 1)$ da 2 en la figura 1, pero el dibujo tiene 3 puntos. No es la regla de estas figuras. El producto tiene que usar las columnas que de verdad hay, que son n + 2. ¹

Errores comunes

Contar dos veces el lado compartido. Cada figura nueva de la fila de triángulos agrega dos palillos, no tres. El conteo 3, 6, 9 describe triángulos separados, no una fila que comparte lados.

Usar n en lugar de n - 1 cuando el aumento sí es fijo. Para 15 triángulos, $3 + 15 \cdot 2 = 33$ cuenta un paso de más. $3 + 14 \cdot 2 = 31$ es el que corresponde a 14 aumentos después de la figura 1. ²

Forzar una diferencia común cuando las restas ya salieron distintas. En el rectángulo de puntos las restas crecen. Ahí la regla es un producto del número de figura, y se verifica por sustitución. ¹

Contar puntos cuando la pregunta pide palillos, o cuadros cuando pide puntos. La lista cambia de unidad y la fórmula correcta de la otra unidad marca un distractor.

Cómo lo pregunta el examen

El enunciado enseña las primeras figuras y pide el conteo de una figura que no cabe en el dibujo, o pide la expresión del lugar n. Cuenta las tres primeras con la misma unidad. Escribe la lista. Resta.

Si las restas coinciden, identifica $a_1$ y $d$, escribe $a_n = a_1 + (n - 1)d$ y sustituye el lugar pedido. Si no coinciden, mira cómo está armada la figura: filas, columnas o piezas nuevas. Traduce eso a un producto o a una potencia y sustitúyelo en las figuras visibles.

Entre las opciones, tacha la que no reproduce la figura 1. Esa prueba es barata y elimina la fórmula corrida un lugar. Después revisa la figura 2, por si dos opciones empatan en la primera.

Resumen

• Contar las figuras en el mismo orden las convierte en una sucesión.
• Una pieza compartida entra una sola vez al conteo.
• Si cada figura agrega la misma cantidad, se usa $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
• Si el aumento cambia, se busca un producto o una potencia y se prueba en el dibujo.
• La figura lejana solo se calcula cuando la fórmula ya reprodujo las figuras visibles.