Término general de una sucesión

¿Cómo se escribe el término que va en el lugar n?

Saber que una lista suma 4, o que triplica, alcanza para el término vecino. No alcanza para el lugar 30: escribir los 29 términos intermedios es lento y es fácil perder la cuenta. El término general es la fórmula que da el término del lugar n al sustituir ese n. No se usa la notación de función $f(x)$: se escribe $a_n$. ¹

La lista de donde sale la diferencia o la razón está en la regla de la lista. Aquí se supone que esa prueba ya se hizo, y se arma la fórmula.

En una sucesión aritmética el primer término se llama $a_1$ y la diferencia común se llama $d$. El lugar 1 no suma $d$. El lugar 2 suma una $d$. El lugar 3 suma dos. El lugar 5 suma cuatro. El número de diferencias que se le han sumado a $a_1$ es uno menos que el número del lugar. Por eso el término general es $a_n = a_1 + (n - 1)d$. ²

En una sucesión geométrica el primer término es $a_1$ y la razón común es $r$. El lugar 1 no va multiplicado por $r$. El lugar 2 va multiplicado por $r$ una vez. El lugar 3 va multiplicado por $r$ dos veces, o sea $r^2$. El lugar 5 va multiplicado por $r$ cuatro veces. El exponente es uno menos que el lugar. El término general es $a_n = a_1 r^{n - 1}$. ³

El signo que alterna también tiene fórmula. La expresión $(-1)^n$ vale -1 en los lugares impares y 1 en los pares. $(-1)^{n+1}$ hace lo contrario: 1 en los impares y -1 en los pares. Se comprueba sustituyendo n = 1, 2 y 3 antes de usarla en una lista concreta. ¹

Estas fichas no usan la suma de los primeros n términos. La sección trae esa suma, y el reactivo de este tema pide el término de un lugar, no el total.

Ideas clave

• $a_n$ es el término del lugar n. La fórmula que lo produce es el término general. ¹
• Si la diferencia común es $d$, entonces $a_n = a_1 + (n - 1)d$. ²
• Si la razón común es $r$, entonces $a_n = a_1 r^{n - 1}$. ³
• El primer término no lleva ni una diferencia sumada ni una razón multiplicada: por eso aparece n - 1, no n. ²
• $(-1)^n$ y $(-1)^{n+1}$ alternan el signo. Cuál de las dos toca se decide sustituyendo el lugar 1. ¹
• Una fórmula se comprueba en los primeros lugares antes de usarla en un lugar grande. ¹

Ejemplos resueltos

El lugar 12 de una lista que suma 4

La lista 7, 11, 15, 19 tiene primer término 7 y diferencia 4. El lugar 12 no se escribe completo. Se sustituye en $a_n = a_1 + (n - 1)d$: $a_{12} = 7 + (12 - 1) \cdot 4 = 7 + 44 = 51$. ²

El error de no restar 1 da $7 + 12 \cdot 4 = 55$. Ese 55 no está en la lista. Para cazar el error, la misma fórmula tiene que devolver 7 cuando n = 1: $7 + (1 - 1) \cdot 4 = 7$. Si en el lugar 1 ya no cuadra, la expresión está corrida.

El lugar 6 de una lista que triplica

La lista 4, 12, 36, 108 tiene primer término 4 y razón 3. El lugar 6 es $a_6 = 4 \cdot 3^{6 - 1} = 4 \cdot 3^5$. Como $3^5 = 243$, el término es $4 \cdot 243 = 972$. ³

Ojo con el exponente. $3^6$ sería el factor del lugar 7, no del 6. Otra vez la prueba es el lugar 1: $4 \cdot 3^{1 - 1} = 4 \cdot 3^0$. Y $3^0 = 1$, así que el primer término queda en 4. Si la fórmula lo cambia, el exponente está mal.

Razón negativa en el lugar 6

La lista 5, -10, 20, -40 tiene razón -2, porque $-10 / 5 = -2$ y $20 / (-10) = -2$. El primer término es 5. El lugar 6 es $a_6 = 5 \cdot (-2)^{6 - 1} = 5 \cdot (-2)^5$. La potencia impar de -2 es -32, y $5 \cdot (-32) = -160$. ³

Si se eleva el 2 y el signo se pone a mano "porque toca negativo", es fácil perder en qué lugar el signo es negativo. La potencia de la razón ya trae el signo. Sustituir n = 2 tiene que dar -10: $5 \cdot (-2)^1 = -10$. Si da 10, la razón se quedó sin signo.

Errores comunes

Usar $a_n = a_1 + nd$ o $a_n = a_1 r^n$. Las dos corren la lista un lugar. El libro cuenta cuántas veces se ha aplicado el paso, y esa cuenta es n - 1. ^{2 3}

Elevar solo el valor absoluto y decidir el signo por separado, sin sustituir. En el lugar 6, $(-2)^5$ es negativo. En el lugar 5, $(-2)^4$ es positivo. El lugar par o impar se lee en el exponente n - 1, no en n, cuando la razón es la que lleva el signo.

Confundir $(-1)^n$ con $(-1)^{n+1}$. En n = 1 la primera vale -1 y la segunda vale 1. Si el primer término de la lista es positivo, la segunda es la que acompaña; si es negativo, la primera. Se decide con una sustitución, no de memoria. ¹

Calcular un lugar grande sumando de uno en uno y perder un paso. La fórmula existe para no hacer esa cadena. Después de sustituir, revisa solo el lugar 1 y el lugar 2.

Cómo lo pregunta el examen

El enunciado da los primeros términos, o da el primero y la diferencia, y pide el término de un lugar alto o la fórmula entre cuatro opciones. Primero clasifica con la resta o con el cociente. Luego escribe la fórmula que corresponda y sustituye el lugar que piden.

Si las opciones son fórmulas, pruébalas en n = 1 y en n = 2. La que no devuelva el primer término se descarta, aunque se parezca mucho a la correcta. Una opción típica trae n en lugar de n - 1, o pone la razón en el exponente n.

Si el término trae signo alterno y además un crecimiento, no mezcles las dos reglas en una sola potencia a ciegas. Puedes escribir el valor sin signo con la fórmula geométrica del valor absoluto, y el signo con $(-1)^n$ o con $(-1)^{n+1}$, y comprobar los dos primeros lugares. ¹

Resumen

• El término general es la fórmula de $a_n$, el término del lugar n.
• Con diferencia $d$, la fórmula es $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
• Con razón $r$, la fórmula es $a_n = a_1 r^{n - 1}$.
• El -1 del lugar cuenta los pasos ya dados: el primer término todavía no da ninguno.
• Antes de confiar en un lugar grande, la fórmula tiene que reproducir el lugar 1 y el lugar 2.