Sucesiones numéricas: cómo encontrar la regla

¿Cómo se reconoce la regla de una sucesión numérica?

En el examen una sucesión llega escrita con comas y, a veces, con puntos suspensivos. Esos puntos dicen que la lista sigue. Cada puesto tiene un número de orden: el primero es el lugar 1, el que sigue es el lugar 2, y así. No se empieza a contar en cero. Una sucesión es una función cuyo dominio son los números con los que contamos, vista como lista ordenada, y cada entrada de esa lista es un término. ¹

La pregunta casi nunca es "cómo se llama". Pide el término que continúa o la regla que lo produce. Para eso hay un orden de pruebas, y saltarse una prueba es la forma más común de elegir un distractor. Cuando ya tienes la regla, el puesto lejano se calcula en el lugar n ya escrito.

La primera prueba es la resta de vecinos. Tomas el segundo menos el primero, el tercero menos el segundo, y una resta más si la lista alcanza. Si esas restas coinciden, la diferencia es común y la sucesión es aritmética. La diferencia común es $a_n - a_{n-1}$, para un lugar n de 2 en adelante. ²

La segunda prueba se usa cuando las restas no coinciden. Divides cada término entre el anterior: $a_n / a_{n-1}$. Si esos cocientes coinciden, la razón es común y la sucesión es geométrica. La n de esa división también empieza en 2. Un cociente negativo no rompe la definición: solo dice que el signo va a alternar. ³

Si ni la resta ni el cociente se quedan quietos, todavía hay regla. Se mira el término por partes. En una fracción, el numerador puede tener una regla y el denominador otra. En el libro, un caso así se lee por separado: numeradores todos iguales y denominadores que son potencias. El mismo corte sirve cuando el numerador crece de tanto en tanto y el denominador se multiplica. También se mira el signo aparte del valor absoluto. ¹

Estas fichas no calculan la suma de los primeros términos. Las secciones 12.2 y 12.3 también traen una suma, y aquí el reactivo pide la regla o el término que sigue.

Ideas clave

• El lugar 1 es el primer término escrito. Los puntos suspensivos indican que la lista no se corta ahí. ¹
• Si $a_n - a_{n-1}$ vale siempre lo mismo, esa constante es la diferencia común y la sucesión es aritmética. ²
• Si $a_n / a_{n-1}$ vale siempre lo mismo, ese cociente es la razón común y la sucesión es geométrica. ³
• Una razón negativa es válida: el signo cambia en cada paso y el valor absoluto sigue la misma multiplicación. ³
• Si las dos pruebas fallan, separa numerador, denominador y signo, y busca el patrón en cada pieza. ¹
• Una fórmula candidata se acepta solo si, al sustituir los lugares 1, 2 y 3, devuelve los términos ya escritos. ¹

Ejemplos resueltos

La lista que suma 4

La lista es 7, 11, 15, 19. Las restas son 11 - 7 = 4, 15 - 11 = 4 y 19 - 15 = 4. No hace falta dividir: la diferencia común es 4 y la sucesión es aritmética. El término que sigue se obtiene sumando otra vez 4, así que es 23. ²

Conviene leer la resta en el orden correcto. 7 - 11 da -4, y ese signo al revés describe otra lista. La definición resta el término anterior al término nuevo, no al contrario.

La lista que triplica

La lista es 4, 12, 36, 108. Las restas 8, 24 y 72 no coinciden, así que no es aritmética. Los cocientes sí: 12 / 4 = 3, 36 / 12 = 3 y 108 / 36 = 3. La razón común es 3. El término que sigue es 108 por 3, es decir 324. ³

Si alguien suma 3 en lugar de multiplicar, el quinto término le sale 111. Ese número no pertenece a la lista. La prueba del cociente es la que decide entre sumar y multiplicar.

El salto que crece de dos en dos

La lista es 8, 11, 16, 23, 32. Las restas son 3, 5, 7 y 9. No hay diferencia común. Los cocientes 11/8, 16/11, 23/16 y 32/23 tampoco coinciden. No es geométrica. Lo que sí se repite es el cambio de la resta: cada nueva resta es 2 más que la anterior. ^{2 3}

El libro pide buscar múltiplos o potencias cuando la lista no es de un solo salto. La candidata $a_n = n^2 + 7$ usa una potencia. Al sustituir, el lugar 1 da 8, el 2 da 11, el 3 da 16, el 4 da 23 y el 5 da 32. Esos son justo los términos dados, así que la candidata sirve. El lugar 6 es 36 + 7 = 43, que es lo mismo que sumar la resta que tocaba, 11, a 32. ¹

Errores comunes

Restar en desorden, o dividir el término viejo entre el nuevo, cambia el signo de la diferencia o invierte la razón. En 4, 12, 36 la división 4/12 da un tercio, y esa razón describe otra lista.

Declarar que "no hay regla" en cuanto las restas difieren. La segunda prueba es el cociente. Y si el cociente también falla, todavía puede haber una potencia, o una fracción con dos reglas.

Tomar una razón negativa como si la lista estuviera mal escrita. En 5, -10, 20, -40 el cociente es siempre -2. La sucesión es geométrica y el signo alterna porque la razón es negativa. ³

Aceptar una fórmula que solo acierta el último término. Hay que sustituir desde el lugar 1. Si el lugar 1 no regresa el primer número escrito, la fórmula no es de esa lista. ¹

Cómo lo pregunta el examen

El reactivo muestra cuatro o cinco términos y pide el que sigue, o dos huecos. No pide el nombre "aritmética" como respuesta, pero la clasificación decide la cuenta. Haz las restas en el margen. Si coinciden, suma esa cantidad al último término, una vez por cada hueco. Si no coinciden, haz las divisiones. Si coinciden, multiplica el último término por esa razón, otra vez por cada hueco.

Si ninguna prueba cierra, corta el término. Un caso útil es 2/5, 4/15, 6/45, 8/135. Los numeradores 2, 4, 6, 8 suben de 2 en 2. Los denominadores 5, 15, 45, 135 se multiplican por 3. El término que sigue tiene numerador 10 y denominador 405. No se suma 2 al denominador ni se triplica el numerador. ¹

Antes de marcar, reconstruye un término que ya estaba escrito. Si tu regla no lo reproduce, la opción que elegiste salió de la prueba que no tocaba.

Resumen

• Una sucesión es una lista ordenada y el primer término ocupa el lugar 1.
• Restas iguales: diferencia común, sucesión aritmética, se sigue sumando esa cantidad.
• Cocientes iguales: razón común, sucesión geométrica, se sigue multiplicando por esa cantidad.
• La razón puede ser negativa, y entonces el signo alterna.
• Si resta y cociente fallan, separa las piezas del término y comprueba la fórmula desde el lugar 1.