Ecuaciones polares y paramétricas

¿Qué curva es una ecuación polar o un par paramétrico?

Sustituir $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$ cambia una ecuación de $r$ y $\theta$ a una de $x$ e $y$. El libro lo hace con $x^2 + y^2 = 9$: queda $r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 9$, y como $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, $r^2 = 9$, así $r = \pm 3$. También muestra el camino inverso, multiplicar por $r$ y usar $r^2 = x^2 + y^2$, y completa el cuadrado cuando aparece un término lineal. ¹

Ideas clave

• $y = r\sin\theta$ y $x = r\cos\theta$. Una ecuación que ya es $r\sin\theta$ o $r\cos\theta$ es una recta horizontal o vertical. ¹
• $x^2 + y^2 = a^2$ pasa a $r = \pm a$. El doble signo sale de la raíz. ¹
• $r = 2\sin\theta$ es, en la gráfica de la sección 10.4, el círculo de centro $(0, 1)$ y radio 1. ²
• Multiplicar $r = a\cos\theta$ por $r$ da $r^2 = ax$, o sea $x^2 + y^2 = ax$. Completar el cuadrado deja un círculo. ¹
• En paramétricas, eliminar el parámetro es escribir una ecuación solo en $x$ e $y$. Con $x = a\cos t$ e $y = b\sin t$ se usa $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. ³
• El libro hace $x = 4\cos t$, $y = 3\sin t$ y obtiene $x^2/16 + y^2/9 = 1$, una elipse centrada en el origen. ³

El punto $(r, \theta)$ de una sola posición está en el paso de $(r, \theta)$ a $(x, y)$. Aquí la ecuación vale para todos los $\theta$ que la cumplan.

Si $r\sin\theta = k$, entonces $y = k$: recta horizontal. Si $r\cos\theta = k$, entonces $x = k$: recta vertical. No se cancela el seno o el coseno para dejar $r = k$. Ese $r$ constante es el círculo $x^2 + y^2 = k^2$, el caso $r = \pm 3$ de $x^2 + y^2 = 9$. ¹

Para $r = a\cos\theta$, el factor $\cos\theta$ depende de $\theta$, así que $r$ no es constante. El análisis de $r = 2\sin\theta$ lo confirma en la familia del seno: no es el círculo de radio 2 en el origen, sino uno de radio 1 con centro en $(0, 1)$. El mismo cuidado vale para el coseno, con el centro sobre el eje $x$. ²

Completar el cuadrado ya aparece en la sección 10.3 al reescribir una polar como hipérbola: agrupan el término en $x$, suman lo que falta y lo compensan del otro lado. En un círculo $x^2 - ax$ eso mueve el centro a $a/2$ y el radio queda $a/2$. ¹

En paramétricas, $t$ no es una coordenada del plano. Se despeja $\cos t = x/a$ y $\sin t = y/b$, se eleva al cuadrado y se suma. La identidad deja 1. Cuando $t = 0$, el libro cae en $(a, 0)$. Cuando $t = \pi/2$, cae en $(0, b)$. Eso orienta la elipse. La forma $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ es la elipse de la cónica del plano. El círculo $x^2 + y^2 = a^2$ es el caso en que los dos semiejes coinciden, el de la circunferencia ya escrita.

Ejemplos resueltos

$r\sin\theta = -3$

Como $y = r\sin\theta$, la ecuación dice $y = -3$. Es una recta horizontal, no $x = -3$ y no el círculo $x^2 + y^2 = 9$. El signo se queda: no es $y = 3$. ¹

$r = 4\cos\theta$

Multiplica por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$. Con $r^2 = x^2 + y^2$ y $r\cos\theta = x$,

$$x^2 + y^2 = 4x.$$

Pasa el $4x$ y completa el cuadrado: $x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4$, así

$$(x - 2)^2 + y^2 = 4.$$

Centro $(2, 0)$ y radio $2$. No es el círculo de radio 4 en el origen, ni la recta $x = 4$. Esa recta sería $r\cos\theta = 4$. ^{1 2}

$x = 5\cos t$, $y = 2\sin t$

$$\cos t = \frac{x}{5}, \qquad \sin t = \frac{y}{2}.$$

Con $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1.$$

Es una elipse. Los denominadores son los cuadrados de 5 y de 2, no 5 y 2. La resta $x^2/25 - y^2/4 = 1$ no sale de esta identidad. ³

Errores comunes

• Leer $r\sin\theta = k$ como $x = k$. El seno va con $y$. ¹
• Tratar $r = a\cos\theta$ como $r = a$. El coseno cambia con $\theta$. ²
• Perder el signo al pasar $r\sin\theta = -3$ a $y = 3$. ¹
• Completar $x^2 - 4x$ como $(x - 4)^2$. La mitad de 4 es 2, y $2^2 = 4$ se suma a ambos lados. ¹
• Poner bajo $x^2$ el coeficiente de $y$, o no elevar el coeficiente al cuadrado. $\left(x/5\right)^2 = x^2/25$. ³
• Armar una hipérbola con $\cos^2 t + \sin^2 t$. Esa suma es 1, no una diferencia. ³

Cómo lo pregunta el examen

Una ecuación polar corta se traduce con $x = r\cos\theta$ o $y = r\sin\theta$ y, si hace falta, con $r^2 = x^2 + y^2$ y el cuadrado completado. Un par $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ se cierra con la identidad pitagórica del parámetro. Los coeficientes de arriba no copian el reactivo: $r = 6\cos\theta$ y $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$ se resuelven con el mismo álgebra. El libro ya resolvió el segundo con 4 y 3, y dejó $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$ como ejercicio. ^{1 3}

Resumen

• $r\sin\theta = k$ es la recta $y = k$. $r\cos\theta = k$ es la recta $x = k$.
• $x^2 + y^2 = a^2$ es $r = \pm a$.
• $r = a\cos\theta$ se multiplica por $r$ y se completa el cuadrado: círculo con centro en el eje $x$.
• $r = 2\sin\theta$ es el círculo de centro $(0, 1)$ y radio 1.
• $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ da la elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$.