Ecuación de la circunferencia

¿Qué ecuación escribe una circunferencia?

El centro $(h, k)$ y el radio $r$ bastan. La forma ordinaria es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. Sale de la distancia: el radio es la distancia del centro a un punto $(x, y)$ de la curva, y esa distancia se eleva al cuadrado. El cuadrado de un binomio sirve después, cuando quieres la misma ecuación ya desarrollada. ¹

Si el centro es el origen, $h$ y $k$ valen 0 y la ecuación se acorta a $x^2 + y^2 = r^2$. Si el centro no es el origen, cada coordenada se resta dentro de su paréntesis. Un paréntesis con suma, como $x + 3$, es una resta de un número negativo: el centro tiene abscisa $-3$. ¹

Ideas clave

• Definición. La circunferencia reúne todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto dado. Ese punto es el centro $(h, k)$. La distancia fija es el radio $r$. ¹
• Forma ordinaria. $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. A la derecha va el radio al cuadrado. ¹
• Centro en el origen. La ecuación queda $x^2 + y^2 = r^2$. ¹
• Radio desde un punto. Si conoces el centro y un punto de la curva, $r$ es la distancia entre esos dos puntos. Luego sustituyes centro y radio en la forma ordinaria. ¹
• Centro de un diámetro. Si te dan los dos extremos de un diámetro, el centro es el punto medio. El radio es la distancia de ese centro a uno de los extremos. ¹
• Forma general. Al desarrollar los binomios y pasar todo a un lado queda $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$. Es la misma circunferencia. ¹

Ejemplos resueltos

Centro y radio dados

Escribe la ecuación con centro $(1, -4)$ y radio 3.

1. $h = 1$, $k = -4$, $r = 3$. ¹
2. $(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 3^2$. ¹
3. $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 9$.
4. No pongas 3 del lado derecho. Ahí va el cuadrado del radio.

Con centro en el origen y radio 6, la forma ordinaria es $x^2 + y^2 = 36$. Al pasar el 36 queda la forma general $x^2 + y^2 - 36 = 0$. El término $+36$ no describe la misma curva: el número cambió de signo. ¹

El centro y un punto de la curva

El centro es $(-2, 5)$ y la curva pasa por $(1, 1)$. Escribe la ecuación.

1. El radio es la distancia entre esos puntos: $r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$. ¹
2. $h = -2$ y $k = 5$, así que $(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 25$. ¹
3. $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$.
4. El punto $(1, 1)$ está en la curva. No es el centro. Si lo usaras como $(h, k)$, la ecuación describiría otra circunferencia.

Un diámetro

Los extremos de un diámetro son $C(0, 0)$ y $D(8, 6)$. Escribe la forma ordinaria y luego la general.

1. El centro es el punto medio: $\left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (4, 3)$. ¹
2. El radio es la distancia del centro a $C$: $r = \sqrt{(0 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. ¹
3. Forma ordinaria: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$. ¹
4. Desarrolla: $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 25$. Junta: $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$. ¹

Errores comunes

Poner el radio, y no su cuadrado, del lado derecho. Con radio 3 la ecuación termina en 9. ¹

Copiar el signo del centro tal como viene en el par. El centro $(1, -4)$ produce $x - 1$ y $y + 4$, porque restar $-4$ es sumar 4. ¹

Tomar como radio el diámetro completo. Si el diámetro mide 10, el radio mide 5. ¹

Usar el punto de la curva como si fuera el centro. El centro es el punto fijo. El otro punto solo sirve para medir $r$. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si dan centro y radio, sustituye en $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ y simplifica el signo de cada paréntesis. ¹

Si dan el centro y un punto de la curva, primero mide la distancia y eleva ese radio al cuadrado. Si dan los extremos de un diámetro, el centro es el punto medio y el radio es la distancia del centro a un extremo. ¹

Para la forma general, desarrolla los dos cuadrados y pasa el número de la derecha al lado izquierdo, con el signo cambiado. ¹

Resumen

• La circunferencia son los puntos del plano a distancia $r$ del centro $(h, k)$.
• La forma ordinaria es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
• Con centro en el origen queda $x^2 + y^2 = r^2$.
• Un punto de la curva, o los extremos de un diámetro, permiten hallar el radio.
• Al desarrollar y dejar cero a la derecha se obtiene la forma general.