Coordenadas polares y conversión a rectangulares

¿Cómo se pasa un punto de polares a rectangulares?

El plano rectangular usa $(x, y)$. El polar etiqueta $(r, \theta)$ sobre círculos con centro en el polo, que es el origen. El eje polar es el eje $x$ positivo. $r$ es el largo del segmento dirigido desde el polo. $\theta$ se mide en radianes, en sentido contrario a las manecillas, desde ese eje. El libro también iguala $60^\circ$ con $\pi/3$ en el círculo unitario, así que un examen en grados nombra el mismo ángulo. ^{1 2}

Ideas clave

• Para graficar $(r, \theta)$ se gira $\theta$ desde el eje polar y se recorre $r$. El par se escribe con $r$ primero. ¹
• $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. Salen de $\cos\theta = x/r$ y $\sin\theta = y/r$, el cateto adyacente y el opuesto sobre la hipotenusa. ¹
• Al revés, $r^2 = x^2 + y^2$ y $\tan\theta = y/x$. Un $(x, y)$ da más de un par polar. ¹
• Si $r$ es negativo, el segmento se traza en la dirección opuesta a $\theta$. El ejemplo $(-2, \pi/6)$ cae en el tercer cuadrante. ¹
• En $60^\circ$, o $\pi/3$, el punto del círculo de radio 1 tiene $x = 1/2$ e $y = \sqrt{3}/2$. En $30^\circ$, o $\pi/6$, es $(\sqrt{3}/2, 1/2)$. ²
• La distancia entre dos puntos polares es el lado de un triángulo SAS. La ley de los cosenos dice $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. ³

El paso de ida es directo. Dado $(r, \theta)$, escribes $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$, evalúas seno y coseno, y multiplicas por $r$. El libro convierte $(3, \pi/2)$ en $(0, 3)$, porque $\cos(\pi/2) = 0$ y $\sin(\pi/2) = 1$. Convierte $(-2, 0)$ en $(-2, 0)$, porque el radio negativo se conserva en la fórmula. ¹

Al volver, el ejemplo $(3, 3)$ está en el primer cuadrante. $\tan\theta = 3/3 = 1$, así que $\theta = \tan^{-1}(1) = \pi/4$. $r = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$, y se toma positivo porque $\pi/4$ cae en ese cuadrante. El mismo punto también es $(-3\sqrt{2}, 5\pi/4)$: el ángulo extra de $\pi$ apunta al cuadrante opuesto y el radio negativo regresa al primero. ¹

El ángulo de referencia está entre $0$ y $90^\circ$, o entre $0$ y $\pi/2$. En el segundo o tercer cuadrante es $|\pi - t|$, o $|180^\circ - t|$. En el cuarto es $2\pi - t$, o $360^\circ - t$. El signo de seno y coseno lo da el cuadrante del ángulo original. ²

Para dos radios y el ángulo entre ellos, el lado opuesto cumple la ley de los cosenos del caso SAS: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$, y las otras dos fórmulas cambian el ángulo. No hace falta pasar a $(x, y)$ si ya tienes los dos radios y el ángulo incluido. La sección 10.2 no escribe la fórmula con $r_1$ y $r_2$: el triángulo es el de los dos radios y la cuerda. ³

La curva que sale de una ecuación, y no de un solo punto, está en la ecuación ya en $x$ e $y$.

Ejemplos resueltos

De $(6, \pi/3)$ a $(x, y)$

$\pi/3$ es $60^\circ$. En el círculo unitario, $\cos(\pi/3) = 1/2$ y $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$. Entonces

$$x = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3, \qquad y = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$$

El punto rectangular es $(3, 3\sqrt{3})$, en el primer cuadrante, igual que el ángulo. ^{1 2}

De $(-2, 2)$ a polares con $r > 0$

$r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\tan\theta = 2/(-2) = -1$. $\tan^{-1}(-1) = -\pi/4$ no está en el segundo cuadrante, que es donde vive $(-2, 2)$. El ángulo de ese cuadrante con referencia $\pi/4$ es $\pi - \pi/4 = 3\pi/4$, o $135^\circ$. Con $r > 0$ el par es $(2\sqrt{2}, 3\pi/4)$. ^{1 2}

Distancia entre $(3, 0)$ y $(3, \pi/3)$

Los radios miden 3 y el ángulo entre ellos es $\pi/3$, cuyo coseno es $1/2$. La cuerda $d$ cumple

$$d^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 9.$$

Así $d = 3$. Restar los radios solo serviría si el ángulo incluido fuera 0. ^{3 2}

Errores comunes

• Escribir el par como $(\theta, r)$. El libro lo escribe $(r, \theta)$ aunque el giro se haga primero. ¹
• Cambiar seno y coseno. $x$ va con el coseno. $y$ va con el seno. ¹
• Olvidar multiplicar por $r$. $\cos\theta$ e $\sin\theta$ son del círculo de radio 1. ¹
• Aceptar $\tan^{-1}(y/x)$ sin mirar el cuadrante. En $(3, 3)$ el libro parte del cuadrante del punto. ¹
• Usar $r$ negativo cuando el examen pide $r > 0$ y un ángulo en el cuadrante del punto. El radio negativo describe el mismo lugar con otro ángulo. ¹
• Poner $\sin$ de un periodo en la ley de los cosenos. El coseno es del ángulo incluido, no de un radio. ³

Cómo lo pregunta el examen

Pide el $(x, y)$ de un par polar, el par polar de un $(x, y)$ con $r > 0$ y un ángulo entre $0^\circ$ y $360^\circ$, o la distancia entre dos pares polares. El primero es $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. El segundo es $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y el ángulo del cuadrante, no el valor crudo de la tangente inversa. El tercero es la ley de los cosenos con los dos radios y $\theta_2 - \theta_1$. Los números de arriba no son los del banco: el método sí. ^{1 3}

Resumen

• $(r, \theta)$ lleva el radio primero y el ángulo desde el eje polar.
• $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. $r^2 = x^2 + y^2$ y $\tan\theta = y/x$.
• Un $(x, y)$ admite varios pares. $r$ negativo apunta al sentido contrario.
• La tangente inversa no elige el cuadrante: lo elige el punto.
• La distancia entre dos radios es la ley de los cosenos del ángulo incluido.