Sustitución trigonométrica

¿Qué ángulo borra la raíz de una suma o resta de cuadrados?

La sustitución ordinaria pide una $g'$ a la vista. En $\int \frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}}$ no hay una $x$ que derive el interior. La identidad pitagórica sí vacía la raíz: $1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta$, $1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta$ y $\sec^{2}\theta - 1 = \tan^{2}\theta$. Cada raíz elige la identidad que la convierte en un cuadrado perfecto. ¹

Hay tres casos, con $a > 0$. ¹

Ideas clave

• $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ usa $x = a\sin\theta$ y $dx = a\cos\theta \, d\theta$, con $\theta$ entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$. Ahí el coseno no es negativo, y la raíz queda $a\cos\theta$. ¹
• $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ usa $x = a\tan\theta$ y $dx = a\sec^{2}\theta \, d\theta$, con $\theta$ entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$, sin los extremos. La raíz queda $a\sec\theta$. ¹
• $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ usa $x = a\sec\theta$ y $dx = a\sec\theta\tan\theta \, d\theta$. Si $x \ge a$, la raíz queda $a\tan\theta$. Si $x \le -a$, queda $-a\tan\theta$. ¹
• Antes de empezar, mira si un cambio $u$ más corto ya resuelve la integral. Estas tres son para cuando ese atajo no está. ¹
• El regreso a $x$ se lee en un triángulo: la razón que definiste es $\frac{x}{a}$ y un cateto es la raíz original. Si $\theta$ queda suelta, $\theta = \sin^{-1}(x/a)$, $\tan^{-1}(x/a)$ o $\sec^{-1}(x/a)$. ¹

El dominio explica la elección. $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ vive en $[-a, a]$, así que $\frac{x}{a}$ está en $[-1, 1]$, que es el recorrido del seno en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. En ese intervalo $\cos\theta \ge 0$, y por eso $\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta} = a\cos\theta$ sin valor absoluto. $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ está definida en todo real, y la tangente cubre todos los reales en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ pide $|x| \ge a$, el recorrido de la secante en $[0, \frac{\pi}{2})$ y en $(\frac{\pi}{2}, \pi]$. ¹

El triángulo de referencia pone el ángulo $\theta$, la hipotenusa y los catetos según la razón. Para el seno, opuesto $x$, hipotenusa $a$, adyacente $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$. Para la tangente, opuesto $x$, adyacente $a$, hipotenusa $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$. Para la secante, con $x > a$, hipotenusa $x$, adyacente $a$, opuesto $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$. ¹

Ejemplos resueltos

Raíz de una diferencia, con seno

Calcula $\int \frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}}$.

1. $a = 5$. Sustituye $x = 5\sin\theta$ y $dx = 5\cos\theta \, d\theta$, con $\theta$ en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. ¹
2. $\sqrt{25-x^{2}} = \sqrt{25\cos^{2}\theta} = 5\cos\theta$, porque el coseno no es negativo en ese intervalo.
3. La integral queda $\int \frac{5\cos\theta}{5\cos\theta} \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C$.
4. $\sin\theta = \frac{x}{5}$, así que $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)$. La respuesta es $\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + C$.

Raíz de una suma, con tangente

Calcula $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+9}}$, con $x$ real.

1. $a = 3$. $x = 3\tan\theta$, $dx = 3\sec^{2}\theta \, d\theta$, y $\sqrt{x^{2}+9} = 3\sec\theta$. ¹
2. $\int \frac{3\sec^{2}\theta}{3\sec\theta} \, d\theta = \int \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$.
3. En el triángulo, $\tan\theta = \frac{x}{3}$ y $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}$.
4. $\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3} + \frac{x}{3}\right| + C$. El $\ln 3$ se absorbe en la constante, y como $\sqrt{x^{2}+9} + x > 0$ se puede escribir $\ln\left(\sqrt{x^{2}+9} + x\right) + C$.

Raíz de x al cuadrado menos una constante

Calcula $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-16}}$ para $x > 4$.

1. $x = 4\sec\theta$ y $dx = 4\sec\theta\tan\theta \, d\theta$. Con $x > 4$, $\sqrt{x^{2}-16} = 4\tan\theta$. ¹
2. $\int \frac{4\sec\theta\tan\theta}{4\tan\theta} \, d\theta = \int \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$.
3. $\sec\theta = \frac{x}{4}$ y $\tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}$.
4. $\ln\left|\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}\right| + C$. El triángulo no se lee igual si $x < -4$: ahí el factor de la raíz cambia de signo.

Errores comunes

Usar seno para $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ o secante para $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$. La identidad que vuelve perfecto el radicando es una sola en cada caso. ¹

Olvidar $dx$. $x = a\sin\theta$ no basta: hay que escribir $a\cos\theta \, d\theta$. Sin eso, el factor que cancela la raíz no aparece. ¹

Sacar la raíz de un cuadrado y tirar el signo. En el intervalo del seno, $\sqrt{\cos^{2}\theta} = \cos\theta$. En la secante, $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ vale $a\tan\theta$ solo cuando $x \ge a$. ¹

Dejar la respuesta en $\theta$. El enunciado está en $x$. El triángulo, o el arco seno, arco tangente o arco secante, cierra el regreso. ¹

Abrir este método cuando el numerador ya es la derivada del interior. $\int \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \, dx$ se hace con $u = a^{2}-x^{2}$. La sustitución trigonométrica llega más lejos y no hace falta. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Muestran una raíz $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$, $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ o $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ y preguntan qué sustitución la simplifica, o piden la integral de $\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$. También dan $x = a\tan\theta$ ya escrita y piden el seno o la raíz en términos de $x$, que se lee en el triángulo. Identifica el caso por el signo de dentro de la raíz, escribe $dx$, cancela, y no marques una respuesta que todavía diga $\theta$.

Resumen

• $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ se sustituye con $x = a\sin\theta$. La raíz pasa a $a\cos\theta$. ¹
• $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ se sustituye con $x = a\tan\theta$. La raíz pasa a $a\sec\theta$. ¹
• $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ se sustituye con $x = a\sec\theta$. El signo de la raíz depende de si $x \ge a$ o $x \le -a$. ¹
• $dx$ acompaña a la sustitución, y la respuesta final vuelve a $x$ con el triángulo. ¹
• Si un cambio $u$ algebraico ya deja el $du$ escrito, ese camino es más corto. ¹