Integración por fracciones parciales

¿Cómo se parte una racional antes de integrar?

Una fracción de polinomios a veces se integra de un golpe, como $\int \frac{1}{x} \, dx$. Cuando el denominador es un producto, conviene escribir la fracción como suma de piezas con un solo factor. Integrar esa suma usa la tabla de antiderivadas: logaritmo en cada lineal y arco tangente si queda $x^{2} + a^{2}$. ¹

La descomposición pide grado del numerador menor que el del denominador. Si no, primero se divide. El cociente queda como polinomio $A(x)$ y el resto $R(x)/Q(x)$ ya cumple la condición de grados. Solo ese resto se parte. ¹

Ideas clave

• Si el grado de arriba no es menor, divide. El cociente se integra aparte y el resto se descompone. ¹
• Factores lineales distintos: $\frac{P}{(a_1 x+b_1)\cdots(a_n x+b_n)} = \sum \frac{A_i}{a_i x + b_i}$. ¹
• Un lineal repetido $(ax+b)^{n}$ pide $\frac{A_1}{ax+b} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^{n}}$. ¹
• Un cuadrático irreducible $ax^{2}+bx+c$, el que no tiene raíces reales, pide numerador $Ax+B$. Si se repite a la $n$, hay un numerador lineal por cada potencia. ¹
• Los coeficientes salen igualando numeradores, por sistema o sustituyendo las raíces de los factores. ¹
• Cada lineal integra a un logaritmo del valor absoluto. $\int \frac{1}{x^{2}+1} \, dx = \tan^{-1} x + C$, y $\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$. ¹

El camino es fijo. Mira los grados y divide si hace falta. Factoriza el denominador en lineales y cuadráticos sin raíces reales, los de discriminante negativo. Escribe la forma según esos factores. Iguala numeradores. Resuelve las constantes. Integra término a término. Si el sistema sale inconsistente, la forma estaba mal planteada. ¹

Sustituir una raíz del denominador anula factores y despeja una constante de inmediato. Conviene, y al final se suma de nuevo para ver que el numerador original regresa. ¹

Ejemplos resueltos

Dos lineales distintos

Calcula $\int \frac{2x+5}{(x-1)(x+4)} \, dx$.

1. Los grados ya cumplen $1 < 2$. La forma es $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4}$. ¹
2. $2x+5 = A(x+4) + B(x-1)$. Con $x = 1$, $7 = 5A$ y $A = \frac{7}{5}$. Con $x = -4$, $-3 = -5B$ y $B = \frac{3}{5}$.
3. Suma de comprobación: $\frac{7}{5}(x+4) + \frac{3}{5}(x-1) = \frac{10x+25}{5} = 2x+5$.
4. La integral es $\frac{7}{5} \ln|x-1| + \frac{3}{5} \ln|x+4| + C$.

Un factor lineal al cuadrado

Calcula $\int \frac{3x-1}{(x+2)^{2}} \, dx$.

1. El factor $x+2$ está elevado a $2$, así que hay dos numeradores constantes: $\frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^{2}}$. ¹
2. $3x-1 = A(x+2) + B$. Con $x = -2$, $B = -7$. El coeficiente de $x$ da $A = 3$, y el término suelto cierra: $2A + B = 6 - 7 = -1$.
3. $\int \frac{3}{x+2} \, dx - 7 \int (x+2)^{-2} \, dx = 3\ln|x+2| + \frac{7}{x+2} + C$.
4. Un solo sumando $\frac{A}{(x+2)^{2}}$ no alcanza: faltaría el logaritmo, y al sumar no recuperarías el $3x$.

Primero se divide

Calcula $\int \frac{x^{2}+x}{x-2} \, dx$.

1. El grado de arriba no es menor. $(x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$, así que $\frac{x^{2}+x}{x-2} = x+3 + \frac{6}{x-2}$. ¹
2. No hace falta un sistema de dos incógnitas: el resto ya es una fracción de la tabla.
3. $\int \left(x+3 + \frac{6}{x-2}\right) dx = \frac{x^{2}}{2} + 3x + 6\ln|x-2| + C$.
4. Partir en fracciones sin dividir, como si el grado ya sirviera, plantea un sistema que no corresponde a esta fracción.

Errores comunes

Descomponer cuando el numerador tiene grado mayor o igual. El primer paso es la división. El cociente es un polinomio, no una fracción. ¹

Poner una sola constante sobre $(ax+b)^{n}$ y olvidar las potencias de abajo. O poner $Ax+B$ sobre un factor lineal: ahí el numerador es constante. El lineal en el numerador se reserva al cuadrático sin raíces reales. ¹

Perder el valor absoluto en el logaritmo de un lineal, o integrar $\frac{1}{(x+2)^{2}}$ como logaritmo. Esa potencia negativa usa la regla de la potencia, no $\ln|x+2|$. ¹

Resolver $A$ y $B$ y no sumar para comprobar. Una forma mal escrita también "da" números. La suma con denominador común es la prueba de que eran los correctos. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Suelen dar una racional ya factorizada, o un denominador que se parte en dos lineales, y preguntan $A$ y $B$ o la integral. El caso repetido pide la forma con dos o más sumandos, a veces sin llegar a integrar. Si el grado de arriba empata o gana, el reactivo espera la división antes de los coeficientes. Sustituye las raíces para despejar rápido y revisa que la suma devuelva el numerador del enunciado.

Resumen

• Grado de arriba menor que el de abajo. Si no, divide y descompón solo el resto. ¹
• Cada lineal distinto aporta una constante sobre ese factor. ¹
• Un lineal repetido aporta una constante por cada potencia, de $1$ hasta $n$. ¹
• Un cuadrático sin raíces reales lleva numerador de grado $1$. ¹
• Los lineales integran a logaritmos. Lo que queda como $\frac{1}{u^{2}+a^{2}}$ integra a un arco tangente. ¹