Integrales inmediatas

¿Qué funciones tienen la misma derivada?

Derivar baja de una función a su pendiente. Integrar recorre el camino de regreso: dada $f$, buscas $F$ tal que $F'(x) = f(x)$ en el dominio de $f$. Esa $F$ se llama antiderivada de $f$. ¹

La constante estorba menos de lo que parece. La derivada de cualquier constante es 0, así que si $F'(x) = f(x)$, también $(F(x) + C)' = f(x)$ para cada número $C$. No hay más familias escondidas: si $F$ y $G$ son antiderivadas de la misma $f$ en un intervalo, existe una constante con $G(x) = F(x) + C$ en ese intervalo. La forma más general es $F(x) + C$. ¹

Por eso $6x$ tiene antiderivada $3x^{2}$, y también $3x^{2} + 5$ y $3x^{2} - 4$. Las gráficas son la misma parábola subida o bajada. Derivar cualquiera de ellas devuelve $6x$.

La notación de esa familia es la integral indefinida. Si $F$ es una antiderivada de $f$,

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C.$$

El signo $\int$ es el signo integral. $f(x)$ es el integrando y $x$ es la variable de integración. Hallar antiderivadas se llama integrar. La integral indefinida no es un número: es la familia completa. ¹

Ideas clave

• $F$ es antiderivada de $f$ cuando $F'(x) = f(x)$ en el dominio de $f$. ¹
• En un intervalo, las antiderivadas son $F(x) + C$. La constante no se ve al derivar. ¹
• Si $n \neq -1$, $\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Sale de derivar esa potencia. ¹
• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ y $\int e^{x} \, dx = e^{x} + C$. ¹
• Seno, coseno y las potencias de secante y cosecante de la tabla se integran de un golpe. El producto de dos antiderivadas no integra un producto. ¹
• Un dato $y(x_0) = y_0$ elige una sola curva de la familia. ¹

La regla de la potencia para integrales pide $n \neq -1$:

$$\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.$$

Sirve para enteros y para racionales distintos de $-1$, porque $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^{n}$. El hueco $n = -1$ es otra fórmula: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$. El valor absoluto importa: el logaritmo natural, como función real de preparatoria, se define en positivos, y $1/x$ también vive en los negativos. ¹

La tabla corta que se usa una y otra vez es esta. ¹

$$\int k \, dx = kx + C, \quad \int \cos x \, dx = \sin x + C, \quad \int \sin x \, dx = -\cos x + C.$$

$$\int e^{x} \, dx = e^{x} + C, \quad \int \sec^{2} x \, dx = \tan x + C, \quad \int \csc^{2} x \, dx = -\cot x + C.$$

$$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C.$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = \sin^{-1} x + C, \quad \int \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = \tan^{-1} x + C.$$

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} \, dx = \sec^{-1}|x| + C.$$

Compruebas una respuesta derivándola. La candidata es correcta exactamente cuando su derivada es el integrando. ¹

Suma, resta y múltiplo constante sí pasan adentro del signo. Si $F$ y $G$ son antiderivadas de $f$ y $g$, y $k$ es real,

$$\int (f \pm g) \, dx = F \pm G + C, \quad \int k f \, dx = k F + C.$$

Productos, cocientes y composiciones no se parten así. Integrar $x e^{x}$ no es multiplicar una antiderivada de $x$ por una de $e^{x}$. ¹

Si te dan $\frac{dy}{dx} = f(x)$ y un punto $y(x_0) = y_0$, eso es un problema de valor inicial. Primero escribes la familia y después el punto despeja $C$. ¹

Ejemplos resueltos

Un polinomio y una raíz cúbica

Calcula $\int (3x^{2} - 8x + 6) \, dx$ y $\int x^{1/3} \, dx$.

1. Cada término usa la potencia o la constante. $3x^{2}$ sube a $x^{3}$, $-8x$ sube a $-4x^{2}$ y $6$ sube a $6x$. ¹
2. $\int (3x^{2} - 8x + 6) \, dx = x^{3} - 4x^{2} + 6x + C$.
3. El exponente $\frac{1}{3}$ no es $-1$. Sube a $\frac{4}{3}$ y divides entre $\frac{4}{3}$, que es multiplicar por $\frac{3}{4}$.
4. $\int x^{1/3} \, dx = \frac{3}{4} x^{4/3} + C$. Derivar devuelve $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} x^{1/3} = x^{1/3}$.

Logaritmo, exponencial y una comprobación

Calcula $\int \left(3x^{-1} + e^{x} + \cos x\right) \, dx$.

1. $3/x$ es el caso excluido de la potencia: $3\ln|x|$. ¹
2. La exponencial se queda: $\int e^{x} \, dx = e^{x} + C$. El coseno pasa a seno.
3. Juntas una sola constante: $3\ln|x| + e^{x} + \sin x + C$.
4. La derivada es $\frac{3}{x} + e^{x} + \cos x$. Coincide con el integrando. Si hubieras escrito $x e^{x}$ como producto de antiderivadas, derivar con la regla del producto no regresaría $x e^{x}$.

La condición inicial elige C

Resuelve $\frac{dy}{dx} = 6x + 2$ con $y(1) = 4$.

1. La familia es $y = 3x^{2} + 2x + C$. ¹
2. Sustituye el punto: $3(1)^{2} + 2(1) + C = 4$, o sea $5 + C = 4$.
3. $C = -1$. La solución es $y = 3x^{2} + 2x - 1$.
4. Sin el punto, cualquier $C$ valdría. El dato corta la familia a una curva.

Errores comunes

Olvidar $+C$ en una integral indefinida. Derivando no se nota, pero la respuesta deja fuera al resto de la familia. En una definida la constante se cancela; aquí no hay extremos que la borren. ¹

Usar $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ cuando $n = -1$. El denominador sería 0. Ese renglón de la tabla es $\ln|x|$, con valor absoluto. ¹

Integrar un producto multiplicando antiderivadas. La linealidad cubre sumas y múltiplos, no productos ni composiciones. ¹

Quitar el valor absoluto de $\ln|x|$ y dejar $\ln x$ cuando el intervalo incluye negativos. En $x > 0$ coinciden; en $x < 0$, $\ln x$ no está definida en los reales de esta tabla. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Piden la integral indefinida de un polinomio, de $\frac{k}{x}$, de una raíz escrita como potencia, o de una mezcla corta de seno, coseno y exponencial. También dan $\frac{dy}{dx}$ y un punto, y preguntan la función, no la familia. El orden que evita el tropiezo es: reconoce cada fórmula de la tabla, sube el exponente solo si no es $-1$, escribe $+C$, y al final usa el punto si lo hay. Derivar la respuesta es la comprobación, y cabe hacerla antes de marcar.

Resumen

• Integrar busca $F$ con $F' = f$. La respuesta general en un intervalo es $F + C$. ¹
• La potencia sube el exponente y divide, salvo cuando el exponente es $-1$. ¹
• $\frac{1}{x}$ da $\ln|x|$, $e^{x}$ se queda, y seno y coseno se intercambian con un signo. ¹
• Suma y múltiplo constante entran al signo. Un producto no se integra multiplicando antiderivadas. ¹
• La condición inicial despeja $C$. Sin ese dato, la constante se queda escrita. ¹