Reglas de derivación

¿Cómo se deriva sin volver al límite?

La definición con límite justifica cada regla. Después ya no hace falta armar el cociente en cada polinomio. Si $f$ y $g$ son diferenciables y $k$ es constante, valen estas cuentas. ¹

Una función constante $f(x) = c$ tiene derivada 0. También se escribe $\frac{d}{dx}(c) = 0$. Su gráfica es una recta horizontal, y la pendiente de una horizontal es 0.

Si $n$ es un entero positivo y $f(x) = x^{n}$, entonces $f'(x) = n x^{n-1}$. El exponente baja a coeficiente y se resta 1. Esto no se aplica a una constante elevada a $x$, como $3^{x}$. Para $x^{3}$, el binomio del cociente deja $3x^{2}$. La misma fórmula aparece escrita para el cuadrado, $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$, y para la raíz, $\frac{d}{dx}\left(x^{1/2}\right) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$. Estas fichas no extienden la potencia a cualquier racional.

La suma se deriva término a término: $\frac{d}{dx}(f + g) = f' + g'$. La resta también: $\frac{d}{dx}(f - g) = f' - g'$. Un múltiplo constante sale: $\frac{d}{dx}(k f) = k f'$. La suma se prueba con el límite y la ley de la suma de límites. La resta y el múltiplo siguen el mismo camino.

El producto no es el producto de las derivadas:

$$\frac{d}{dx}(fg) = f'g + g'f.$$

El contraejemplo corto es $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$, que no es $1 \cdot 1$. En la prueba se suma y se resta $f(x)g(x + h)$ dentro del cociente, y se usa que $g$ es continua. Con tres factores diferenciables,

$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'.$$

El cociente tampoco es el cociente de las derivadas:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^{2}}.$$

Otra vez $x^{2} = \frac{x^{3}}{x}$ avisa el error: la derivada es $2x$, no $\frac{3x^{2}}{1}$. La prueba se parece a la del producto y el libro la deja así.

Si $k$ es un entero negativo, $\frac{d}{dx}(x^{k}) = k x^{k-1}$. Se escribe $n = -k$, se ve $x^{k}$ como $\frac{1}{x^{n}}$ y se aplica el cociente. Por ejemplo, $x^{-4}$ da $-4x^{-5}$, y $\frac{6}{x^{2}} = 6x^{-2}$ da $-12x^{-3}$.

Cuando hay varias reglas, se deshace el orden en que se evaluaría la expresión: primero la operación de afuera. Estas fichas se quedan en polinomios, productos, cocientes y potencias enteras. No derivan seno, coseno, exponencial ni logaritmo.

Ideas clave

• Constante. Si $f(x) = c$, entonces $f'(x) = 0$. ¹
• Potencia. Si $n$ es entero positivo, $\frac{d}{dx}(x^{n}) = n x^{n-1}$. No aplica a $a^{x}$. ¹
• Suma y resta. $\frac{d}{dx}(f \pm g) = f' \pm g'$, y $\frac{d}{dx}(kf) = k f'$. ¹
• Producto. $\frac{d}{dx}(fg) = f'g + g'f$. No es $f'g'$. ¹
• Cociente. $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^{2}}$. El menos no se puede voltear. ¹
• Entero negativo. $\frac{d}{dx}(x^{k}) = k x^{k-1}$ también si $k$ es entero negativo. ¹

Ejemplos resueltos

Un polinomio

Deriva $f(x) = x^{6} - 4x^{2} + 5$.

1. La potencia en $x^{6}$ da $6x^{5}$. En $x^{2}$ da $2x$, y el $-4$ se queda de coeficiente: $-8x$. ¹
2. La constante 5 aporta 0.
3. $f'(x) = 6x^{5} - 8x$.
4. No bajes el 6 y dejes el exponente en 6. El exponente nuevo es 5.

Un producto

Deriva $p(x) = (x + 4)(x^{2} - 1)$.

1. Llama $f(x) = x + 4$ y $g(x) = x^{2} - 1$. Entonces $f'(x) = 1$ y $g'(x) = 2x$. ¹
2. $p'(x) = (1)(x^{2} - 1) + (2x)(x + 4) = x^{2} - 1 + 2x^{2} + 8x = 3x^{2} + 8x - 1$.
3. Al expandir, $p(x) = x^{3} + 4x^{2} - x - 4$, y su derivada es la misma $3x^{2} + 8x - 1$. Las dos rutas coinciden.
4. El atajo $f'g' = 2x$ no es la derivada del producto.

Un cociente y una potencia negativa

Deriva $q(x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 1}$ y $r(x) = \frac{5}{x^{3}}$.

1. En el cociente, $f'g - g'f = (1)(x^{2} - 1) - (2x)(x + 4) = x^{2} - 1 - 2x^{2} - 8x = -x^{2} - 8x - 1$. ¹
2. El denominador va al cuadrado: $q'(x) = \frac{-x^{2} - 8x - 1}{(x^{2} - 1)^{2}}$.
3. $r(x) = 5x^{-3}$. El exponente baja: $r'(x) = 5(-3)x^{-4} = -15x^{-4}$.
4. No dividas la derivada de arriba entre la de abajo y ya. Falta la resta y el cuadrado.

Errores comunes

Derivar $x^{n}$ y olvidar restar 1 al exponente, o bajar el exponente y no multiplicar. $x^{6}$ no da $x^{5}$ ni $6x^{6}$. ¹

Aplicar la potencia a $3^{x}$. La base es la que está fija y el exponente es la variable. La regla de esta sección pide la variable en la base.

Multiplicar derivadas en un producto, o dividirlas en un cociente. El producto suma dos términos. El cociente resta en un orden fijo y divide entre el cuadrado del denominador. ¹

Voltear el signo del cociente, $g'f - f'g$, y dejarlo como respuesta. Eso cambia el signo de toda la derivada.

Cómo lo pregunta el examen

Piden la derivada de un polinomio, de un producto y de un cociente de polinomios, o el valor de la derivada en un número después de derivar. El orden del examen suele ser: identifica la regla de afuera, deriva cada pieza, y solo al final sustituyes el número. Si el enunciado trae una raíz o un entero en el denominador, reescríbelo como potencia antes de usar la fórmula. Seno, exponencial y logaritmo aparecen en otros reactivos. Esta ficha no les da fórmula.

Resumen

• La constante se anula y $x^{n}$ pasa a $n x^{n-1}$ si $n$ es entero positivo. ¹
• Suma y resta se derivan pieza por pieza. La constante multiplicada sale intacta. ¹
• El producto suma $f'g$ y $g'f$. No multipliques $f'$ por $g'$. ¹
• El cociente es $\frac{f'g - g'f}{g^{2}}$. ¹
• Un entero negativo en el exponente usa la misma baja de potencia, vía el cociente. ¹