Regla de la cadena

¿Cómo se deriva una función metida en otra?

Las reglas de suma y de producto no alcanzan cuando una función vive dentro de otra. La composición $h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ se deriva con la cadena: la derivada de la de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de la de adentro. ¹

Para todo $x$ del dominio de $g$ donde $g$ es diferenciable en $x$ y $f$ es diferenciable en $g(x)$,

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

Si $y$ es función de $u$ y $u$ es función de $x$,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

El orden de trabajo es de afuera hacia adentro. La derivada de una composición de dos funciones tiene dos factores. La de tres tiene tres. No se evalúa una derivada en otra derivada: la de afuera se evalúa en el valor de la de adentro.

La estrategia es corta. Identifica $f$ y $g$. Calcula $f'$ y evalúala en $g(x)$. Calcula $g'(x)$. Multiplica.

Junto con la potencia sale una forma que se usa todo el tiempo. Si

$$h(x) = \big(g(x)\big)^{n},$$

entonces

$$h'(x) = n \big(g(x)\big)^{n-1} \cdot g'(x),$$

en los $x$ donde esa derivada existe. Se piensa $f(t) = t^{n}$, así que $f'(t) = n t^{n-1}$, y luego se sustituye $t$ por $g(x)$.

Con tres funciones, si $k(x) = h\big(f(g(x))\big)$,

$$k'(x) = h'\big(f(g(x))\big) \cdot f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

Es aplicar la cadena dos veces. Se puede ir de afuera hacia adentro, una derivada por vez, sin memorizar la fórmula de tres.

La sección también deja escritas las cadenas del seno y del coseno, porque ya usa que la derivada del seno es el coseno y la del coseno es el menos seno:

$$\frac{d}{dx}\big(\sin(g(x))\big) = \cos(g(x)) \cdot g'(x),$$

$$\frac{d}{dx}\big(\cos(g(x))\big) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x).$$

Estas fichas no desarrollan la derivada de la exponencial ni la del logaritmo. La prueba informal de la cadena, la que parte el cociente y cambia de variable, no se pide en el examen y aquí no se reconstruye.

En Leibniz hay que sustituir al final. Si $u = g(x)$ y $y = f(u)$, el producto $\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ todavía puede traer $u$. La respuesta del problema queda entera en $x$.

Ideas clave

• Dos funciones. $h(x) = f(g(x))$ cumple $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ¹
• Leibniz. Si $y$ depende de $u$ y $u$ depende de $x$, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$, y al final solo queda $x$. ¹
• Potencia. $\frac{d}{dx}\big(g(x)\big)^{n} = n \big(g(x)\big)^{n-1} g'(x)$. ¹
• Tres piezas. La derivada trae tres factores: afuera, media y adentro. ¹
• Seno y coseno. La cadena del seno multiplica por el coseno de adentro. La del coseno multiplica por el menos seno. ¹
• Orden. Se trabaja de afuera hacia adentro. No se mete una derivada dentro de otra. ¹

Ejemplos resueltos

Potencia de un binomio

Deriva $h(x) = (x^{2} + 3)^{4}$.

1. La de afuera es la potencia 4. La de adentro es $g(x) = x^{2} + 3$, con $g'(x) = 2x$. ¹
2. $h'(x) = 4(x^{2} + 3)^{3} \cdot 2x = 8x(x^{2} + 3)^{3}$.
3. El $2x$ no se puede omitir. Sin él solo derivaste la potencia y dejaste la de adentro quieta.
4. No expandas el binomio a la cuarta si solo piden la derivada. La cadena ya la deja factorizada.

Un coseno

Deriva $y = \cos(5x)$.

1. La de afuera es el coseno. Su derivada es el menos seno, evaluado en $5x$. ¹
2. La de adentro es $5x$, cuya derivada es 5.
3. $\frac{dy}{dx} = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin(5x)$.
4. El 5 no se queda solo en el argumento. Sale al frente al derivar el interior.

Tres niveles, de afuera hacia adentro

Deriva $k(x) = \big((x + 2)^{2} + 1\big)^{3}$.

1. La potencia de afuera es 3. Su factor es $3\big((x + 2)^{2} + 1\big)^{2}$. ¹
2. Lo de adentro de esa potencia es $(x + 2)^{2} + 1$. Su derivada es $2(x + 2) \cdot 1$, otra cadena.
3. $k'(x) = 3\big((x + 2)^{2} + 1\big)^{2} \cdot 2(x + 2) = 6(x + 2)\big((x + 2)^{2} + 1\big)^{2}$.
4. Son tres factores antes de simplificar: la potencia exterior, la potencia intermedia y la derivada de $x + 2$.

Errores comunes

Derivar la de afuera y olvidar multiplicar por $g'(x)$. En $(x^{2} + 3)^{4}$ eso dejaría $4(x^{2} + 3)^{3}$, incompleta. ¹

Evaluar $f'$ en $g'(x)$ en lugar de en $g(x)$. La de afuera ve el valor de la función interior, no su pendiente.

Dejar la $u$ en la respuesta de Leibniz. Si $u = 3x - 2$ y $y = u^{4}$, el producto $4u^{3} \cdot 3$ se escribe $12(3x - 2)^{3}$. ¹

Parar en la primera capa cuando hay tres. Cada función que todavía depende de $x$ aporta su factor.

Cómo lo pregunta el examen

Dan una potencia de un polinomio, o un seno o un coseno de un múltiplo de $x$, y piden la derivada. El reactivo no pide la prueba. Pide reconocer afuera y adentro, bajar la potencia o cambiar seno y coseno, y no perder el factor interior. Si la expresión trae un producto y además una composición, primero se abre el producto y en cada término se usa la cadena. Exponencial y logaritmo de un polinomio salen en el banco. Esta ficha no escribe su fórmula.

Resumen

• $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ cuando $h = f \circ g$. ¹
• En Leibniz, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$, y $u$ se elimina al final. ¹
• La potencia de $g$ multiplica $n(g)^{n-1}$ por $g'$. ¹
• Tres funciones aportan tres factores, de afuera hacia adentro. ¹
• Seno compuesto deriva al coseno de adentro por $g'$. Coseno compuesto, al menos seno por $g'$. ¹