Integración por sustitución

¿Cuándo el integrando es una cadena al revés?

La tabla de antiderivadas cubre potencias, seno y exponencial sueltos. No cubre, de un vistazo, $(2x^{2} - 1)^{5}$ multiplicado por $4x$. Esa pieza es la derivada de una composición: afuera una potencia, adentro $2x^{2} - 1$, y al lado la derivada de adentro. La sustitución deshace esa cadena. ¹

El enunciado es este. Sea $u = g(x)$, con $g'$ continua en un intervalo, sea $f$ continua en el recorrido de $g$, y sea $F$ una antiderivada de $f$. Entonces ¹

$$\int f(g(x)) \, g'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F(g(x)) + C.$$

Se ve en la derivada de la composición: $\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(g(x)) \, g'(x)$. Integrar los dos lados devuelve la fórmula. ¹

Ideas clave

• Buscas $g(x)$ adentro del integrando de modo que $g'(x)$, salvo constante, también esté. ¹
• Sustituyes $u = g(x)$ y $du = g'(x) \, dx$. Al terminar, la integral debe quedar solo en $u$. ¹
• Integras con la tabla y escribes el resultado con $g(x)$ otra vez. ¹
• Si el factor numérico de $du$ no coincide, lo despejas. Una constante puede salir del signo. ¹
• En una definida, $\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$. Los extremos cambian con $g$. ¹
• Puedes regresar a $x$ y evaluar en $a$ y $b$, sin cambiar límites. No mezcles extremos de $x$ con una integral escrita en $u$. ¹

El camino práctico tiene cinco pasos. Miras el integrando y eliges $g(x)$. Escribes $u$ y $du$. La integral tiene que poder hacerse en $u$. Si no, pruebas otra elección. Integras. Vuelves a la variable original. ¹

A veces $du$ trae un coeficiente de más. Si $du = 2x \, dx$ y en el integrando solo está $x \, dx$, multiplicas la igualdad por $\frac{1}{2}$ y ese $\frac{1}{2}$ queda fuera de la integral. Lo que no puedes dejar es una $x$ suelta al lado de $u$. Si sobra la variable vieja, la despejas de $u = g(x)$ y la sustituyes también. ¹

En una integral definida el cambio arrastra los extremos. Si $u = g(x)$ y $g'$ es continua en $[a, b]$, y $f$ es continua en el recorrido de $g$, ¹

$$\int_a^b f(g(x)) \, g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du.$$

La cuenta que lo justifica: una antiderivada en $x$ es $F(g(x))$, y $F(g(b)) - F(g(a))$ es la misma resta con los extremos ya medidos en $u$. ¹

Ejemplos resueltos

La derivada de adentro ya está

Calcula $\int 4x (2x^{2} - 1)^{5} \, dx$.

1. Elige $u = 2x^{2} - 1$. Entonces $du = 4x \, dx$, que es justo el factor que acompaña a la potencia. ¹
2. La integral pasa a $\int u^{5} \, du = \frac{u^{6}}{6} + C$.
3. Regresa: $\frac{(2x^{2} - 1)^{6}}{6} + C$.
4. Al derivar, la cadena baja el $6$, deja $(2x^{2} - 1)^{5}$ y multiplica por $4x$. El $6$ del denominador se cancela. Vuelve el integrando.

Falta un coeficiente

Calcula $\int x \sqrt{x^{2} + 4} \, dx$.

1. $u = x^{2} + 4$ da $du = 2x \, dx$. El integrando tiene $x \, dx$, así que $\frac{1}{2} du = x \, dx$. ¹
2. $\frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C$.
3. En $x$: $\frac{1}{3} (x^{2} + 4)^{3/2} + C$.
4. Olvidar el $\frac{1}{2}$ duplicaría la respuesta. Derivarla lo delata: saldría $2x \sqrt{x^{2} + 4}$ en lugar de $x \sqrt{x^{2} + 4}$.

Extremos nuevos en una definida

Evalúa $\int_0^2 x (x^{2} + 1)^{3} \, dx$.

1. $u = x^{2} + 1$, $du = 2x \, dx$, y $\frac{1}{2} du = x \, dx$. ¹
2. Cuando $x = 0$, $u = 1$. Cuando $x = 2$, $u = 5$. No dejes escritos el $0$ y el $2$ al lado de $u$.
3. $\frac{1}{2} \int_1^5 u^{3} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} \big|_1^5 = \frac{1}{8} (625 - 1) = 78$.
4. Si regresas a $x$ antes de evaluar, $\frac{(x^{2} + 1)^{4}}{8}$ de $0$ a $2$ da $\frac{625}{8} - \frac{1}{8} = 78$. Misma cifra, otros extremos.

Errores comunes

Elegir $u$ y no sustituir el $dx$. Sin $du$, la integral queda con dos variables. El paso no termina hasta que solo se ve $u$. ¹

Dejar el factor $2$ o $\frac{1}{2}$ fuera de la cuenta. Ese número es parte de $du$, no un adorno. ¹

En una definida, cambiar el integrando a $u$ y seguir evaluando en $x = a$ y $x = b$. Esos números no son valores de $u$. O mueves los extremos con $g$, o vuelves a $x$ antes de restar. ¹

Forzar la sustitución cuando no hay una derivada interna. $x^{2} + 1$ sin una $x$ al lado no es una cadena de este teorema. Ahí la potencia de la tabla, o más adelante otro método, hace el trabajo. ¹

Cómo lo pregunta el examen

El integrando trae una potencia, una raíz o un seno de un polinomio corto, y al lado aparece, salvo un número, la derivada de ese polinomio. Te piden la indefinida, o el número entre dos extremos. También hay reactivos que solo preguntan cuál sustitución conviene, sin pedirte el resultado. Marca la $u$ cuya diferencial ya está escrita, ajusta la constante, y en la definida decide de antemano si vas a mover los extremos.

Resumen

• La sustitución integra $f(g(x)) g'(x)$ cambiando a $\int f(u) \, du$. ¹
• $u$ se elige para que $du$, salvo constante, ya esté en el integrando. ¹
• Un coeficiente se despeja y sale de la integral. La variable vieja no puede quedar mezclada. ¹
• Al terminar se escribe otra vez $g(x)$, más $C$ si la integral es indefinida. ¹
• En la definida, los extremos pasan a $g(a)$ y $g(b)$, o se regresa a $x$ antes de evaluar. ¹