Integral definida y área bajo la curva

¿Qué número deja la suma de rectángulos?

Partir $[a, b]$ en $n$ tramos del mismo ancho $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ y levantar un rectángulo de altura $f(x_i^{*})$ arma una suma de Riemann. La integral definida es el límite de esas sumas: ¹

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*}) \, \Delta x,$$

si el límite existe. Entonces $f$ es integrable en $[a, b]$. Los números $a$ y $b$ son los límites de integración: $a$ el inferior y $b$ el superior. $f(x)$ sigue siendo el integrando y $x$ la variable de integración. Esa variable es muda: cambiarla por $t$ o por $u$ no cambia el número. ¹

Una integral indefinida es una familia $F + C$. Esta, con extremos fijos, es un número. La notación se parece y el significado no. ¹

Si $f$ es continua en el cerrado $[a, b]$, ese límite existe y es único: toda continua en un cerrado acotado es integrable. Una función con un número finito de saltos también puede serlo. ¹

Ideas clave

• La definida es el límite de sumas de Riemann. Si existe, $f$ es integrable. ¹
• Arriba del eje el área suma. Abajo resta. Eso es el área neta con signo, $A_1 - A_2$. El área total es $A_1 + A_2$, la integral de $|f|$. ¹
• Extremos iguales dan 0. Invertirlos cambia el signo. La suma, la resta y un múltiplo constante se pueden separar. ¹
• $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ mientras $f$ sea integrable en el intervalo más grande. ¹
• Si $f$ es continua en $[a, b]$, hay un $c$ con $f(c)(b-a) = \int_a^b f$. El promedio es esa integral dividida entre $b-a$. ²
• Si $F' = f$ y $f$ es continua, $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$. La constante de $F$ se anula. ²

Cuando $f$ cambia de signo, cada rectángulo bajo el eje aporta un término negativo. En el límite, la integral vale el área por encima del eje menos el área por debajo. Puede salir positiva, negativa o cero. El área geométrica, la que no admite signo, es la integral de $|f|$. ¹

Las propiedades que el examen combina son estas. Si los extremos coinciden, $\int_a^a f(x) \, dx = 0$. Si se invierten, $\int_b^a f = -\int_a^b f$. La integral de una suma es la suma de las integrales, y lo mismo con la resta. Un múltiplo constante sale: $\int_a^b c f = c \int_a^b f$. Y el intervalo se puede cortar: ¹

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.$$

La comparación, con $a \le b$, dice que si $f \ge 0$ la integral es $\ge 0$, que si $f \ge g$ la integral de $f$ es mayor o igual, y que si $m \le f(x) \le M$ entonces $m(b-a)$ y $M(b-a)$ atrapan la integral. ¹

El promedio de una continua en $[a, b]$ no se saca sumando valores sueltos, porque hay infinitos. Se define ¹

$$f_{\mathrm{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx.$$

El teorema del valor medio para integrales garantiza el punto: si $f$ es continua en $[a, b]$, existe $c$ en el intervalo con $f(c) = f_{\mathrm{prom}}$, o escrito al revés, $\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b-a)$. ²

El teorema fundamental une las dos ideas. Parte 1: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$, entonces $F'(x) = f(x)$. La variable de arriba es la que se deriva, y el integrando usa otra letra para no mezclarlas. Parte 2, la de evaluar: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $F$ es cualquier antiderivada, ²

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).$$

La barra $F(x) \big|_a^b$ significa justo eso. No hace falta arrastrar $+C$: si la agregas, se resta al evaluar. Por eso conviene la antiderivada con constante 0. ²

Las fórmulas de la tabla de antiderivadas son las que se evalúan en los extremos. El límite de rectángulos justifica el número; en un reactivo casi nunca se suma esa serie a mano.

Ejemplos resueltos

Área neta y área total de una recta

Para $f(x) = x$ en $[-2, 2]$, compara el número de la integral con el área geométrica.

1. De $0$ a $2$ el triángulo tiene base $2$ y altura $2$. Su área es $2$. De $-2$ a $0$ hay otro triángulo de área $2$, debajo del eje. ¹
2. El área neta es $2 - 2 = 0$. Por eso $\int_{-2}^{2} x \, dx = 0$.
3. El área total suma los trozos: $\int_{-2}^{2} |x| \, dx = 4$.
4. Un resultado $0$ no dice que la región esté vacía. Dice que los dos lados se cancelan.

Propiedades y evaluación

Sabes que $\int_0^6 f(x) \, dx = 9$ y $\int_0^2 f(x) \, dx = 4$. Además $\int_0^3 g(x) \, dx = 2$ y $\int_0^3 f(x) \, dx = 5$. Calcula $\int_2^6 f$, $\int_6^2 f$ y $\int_0^3 (4f - g)$. Luego evalúa $\int_0^3 (x^{2} + 2) \, dx$.

1. Cortar el intervalo: $9 = 4 + \int_2^6 f$, así que esa integral vale $5$. Invertir los extremos da $-5$. ¹
2. El múltiplo y la resta salen: $\int_0^3 (4f - g) = 4 \cdot 5 - 2 = 18$. ¹
3. Una antiderivada de $x^{2} + 2$ es $\frac{x^{3}}{3} + 2x$. En $3$ vale $9 + 6 = 15$. En $0$ vale $0$. ²
4. $\int_0^3 (x^{2} + 2) \, dx = 15$. Si hubieras sumado $7$ a la antiderivada, el $7$ se cancela.

Dónde la función vale su promedio

Halla el promedio de $f(x) = 2x$ en $[1, 5]$ y un $c$ donde $f(c)$ coincide con ese promedio.

1. $\int_1^5 2x \, dx = x^{2} \big|_1^5 = 25 - 1 = 24$. ²
2. El largo del intervalo es $4$. El promedio es $\frac{24}{4} = 6$. ¹
3. Resuelve $2c = 6$. Entonces $c = 3$, y $3$ está en $[1, 5]$. ²
4. La integral también se lee como el área de un rectángulo de base $4$ y altura $6$.

Errores comunes

Leer un resultado negativo como un área imposible. El área geométrica es positiva. La integral con signo resta lo que está bajo el eje, y puede ser negativa o cero. ¹

Arrastrar $+C$ y tratarla como parte del resultado numérico. Al restar $F(b) - F(a)$ desaparece. Dejarla no cambia el número, pero usarla como respuesta sí. ²

Cambiar el orden de los extremos y no cambiar el signo, o cortar $\int_0^6$ olvidando restar el tramo que ya te dieron. La aditividad despeja el tramo que falta. ¹

Derivar el extremo de arriba en la parte 1 y olvidar que $F'(x) = f(x)$, no $f(a)$. El límite inferior fijo no se deriva. ²

Cómo lo pregunta el examen

Dan una integral de polinomio o de una recta entre dos números, y piden el valor. Otras veces dan dos integrales ya hechas, por ejemplo de $0$ a un corte y de $0$ al extremo, y preguntan el tramo de en medio, el signo al invertir, o $\int (af + bg)$. También piden el $c$ del valor medio: calculas el promedio y resuelves $f(c)$ igual a ese número, quedándote con el $c$ que cae dentro del intervalo. Si la gráfica cruza el eje, distingue área neta de área total antes de marcar.

Resumen

• $\int_a^b f$ es un número, el límite de las sumas de Riemann, si ese límite existe. ¹
• El signo resta el área bajo el eje. El área total integra $|f|$. ¹
• Misma cota da 0, invertir cambia el signo, y la integral se parte en la suma, la resta, el múltiplo y el corte del intervalo. ¹
• El promedio es la integral entre $b-a$. Una continua lo alcanza en algún $c$ del cerrado. ²
• Si $F' = f$, el número es $F(b) - F(a)$. La constante no sobrevive a la resta. ²