Integración por partes

¿Cómo se integra un producto que no es una cadena?

La sustitución pide que una pieza sea la derivada de la otra. En $\int x \sin(2x) \, dx$ derivar $2x$ da $2$, no $x$. No hay una regla que diga "integral de un producto es producto de integrales". Lo que sí hay es un reacomodo de la regla del producto. ¹

Si $h = f g$, entonces $h' = f' g + g' f$. Integrar los dos lados y despejar deja

$$\int f(x) \, g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int g(x) \, f'(x) \, dx.$$

Con $u = f(x)$ y $v = g(x)$, de modo que $du = f'(x) \, dx$ y $dv = g'(x) \, dx$, la forma corta es ¹

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$$

Hace falta que $u$ y $v$ tengan derivadas continuas. La ganancia es cambiar una integral por otra que sí esté en la tabla de antiderivadas. ¹

Ideas clave

• No existe una regla del producto para integrales. Partes intercambia una integral por otra. ¹
• $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, con $du$ y $dv$ leídos de esas elecciones. ¹
• $dv$ tiene que ser algo que sepas integrar. Si no sale $v$, la elección no sirve. ¹
• Conviene que $u$ se simplifique al derivar: una potencia baja de grado, un logaritmo pasa a $1/x$. ¹
• La constante al integrar $dv$ se cancela. Puedes tomarla igual a 0. ¹
• En $[a, b]$, $\int_a^b u \, dv = uv \big|_a^b - \int_a^b v \, du$, si las derivadas son continuas en el cerrado. ¹

Una guía útil, no un teorema, es el orden logaritmo, inverso trigonométrico, algebraica, trigonométrica, exponencial. La que aparezca antes en esa lista suele ser buena $u$, porque logaritmo e inverso no tienen una integral inmediata cómoda y por eso no conviene dejarlos en $dv$. Entre seno y exponencial el orden importa poco: las dos se integran fácil. Si la elección deja una integral más pesada, se prueba el otro reparto. ¹

A veces partes se aplica dos veces, porque el polinomio baja un grado en cada vuelta y la exponencial o el seno se quedan. La segunda vuelta usa la misma fórmula, no un atajo distinto. ¹

Ejemplos resueltos

Un polinomio por un seno

Calcula $\int x \sin(2x) \, dx$.

1. $u = x$ se deriva a $du = dx$. $dv = \sin(2x) \, dx$ se integra a $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$. ¹
2. $uv - \int v \, du = -\frac{x}{2} \cos(2x) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) dx$.
3. La que queda es inmediata: $\int \frac{1}{2} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(2x)$.
4. $\int x \sin(2x) \, dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$. Al derivar, el producto devuelve $x \sin(2x)$ y los otros términos se cancelan.

La elección al revés empeora

En la misma integral, prueba $u = \sin(2x)$ y $dv = x \, dx$.

1. Entonces $du = 2\cos(2x) \, dx$ y $v = \frac{x^{2}}{2}$. ¹
2. La fórmula escribe $\frac{x^{2}}{2} \sin(2x) - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot 2\cos(2x) \, dx$, o sea $\frac{x^{2}}{2} \sin(2x) - \int x^{2} \cos(2x) \, dx$.
3. El grado de $x$ subió. La integral nueva es más difícil que la original.
4. Por eso $u$ se lleva el factor algebraico cuando el otro factor es seno o coseno: derivar $x$ lo aplana, e integrar el seno es directo.

Partes en un intervalo

Evalúa $\int_0^{\pi/2} x \cos(2x) \, dx$.

1. $u = x$, $dv = \cos(2x) \, dx$, $du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin(2x)$. ¹
2. $uv \big|_0^{\pi/2} = \frac{x}{2} \sin(2x) \big|_0^{\pi/2}$. En $\frac{\pi}{2}$ el seno de $\pi$ es $0$. En $0$ también. El borde vale $0$.
3. Resta $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) \big|_0^{\pi/2} = -\frac{1}{4}(-1) - \left(-\frac{1}{4}(1)\right) = \frac{1}{2}$.
4. La integral pedida es $0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. El signo negativo cabe: en parte del intervalo el coseno de $2x$ es negativo y $x$ es positivo.

Errores comunes

Repartir $u$ y $dv$ de modo que $dv$ no se pueda integrar. Sin $v$, la fórmula no arranca. ¹

Olvidar el signo de en medio. Es $uv$ menos la integral de $v \, du$, no más. Un signo volteado falla al derivar. ¹

Integrar $dv$ y derivar $u$, y después integrar otra vez $u$ por costumbre. En el segundo término se integra $v$ respecto de la diferencial nueva, que es $du$. ¹

En la definida, evaluar $uv$ solo en el extremo de arriba. La barra resta el valor de abajo, aunque ese valor sea $0$ y la resta no se note. ¹

Cómo lo pregunta el examen

El producto típico junta un polinomio de grado 1 con seno, coseno o exponencial, o un logaritmo con una potencia. A veces preguntan solo qué factor debe ser $u$. Elige el que se simplifica al derivar, integra $dv$, escribe $uv$ y deja planteada la integral nueva antes de hacerla. Si el enunciado ya trae límites, evalúa $uv$ en los dos extremos y no dejes la segunda integral indefinida.

Resumen

• Partes reescribe $\int u \, dv$ como $uv - \int v \, du$. ¹
• $u$ se deriva y $dv$ se integra. $dv$ tiene que tener antiderivada conocida. ¹
• Si la integral nueva sube de dificultad, se cambian $u$ y $dv$. ¹
• La constante de $v$ no altera el resultado. ¹
• Con extremos, $uv$ se evalúa de $a$ a $b$ y la integral que resta también lleva esos extremos. ¹