Operaciones y composición de funciones

¿Sumar es lo mismo que meter una función dentro de la otra?

Precálculo dice que se pueden hacer operaciones algebraicas con funciones. En la misma entrada, sumar es sumar las dos salidas, restar es restarlas y multiplicar es multiplicarlas. Eso se calcula evaluando cada fórmula y operando esos números. Evaluar sigue siendo sustituir. ^{1 5}

La composición es otra operación, y el libro la separa. Cuando se combinan, la salida de la primera, la interna, se convierte en la entrada de la segunda, la externa. La función que resulta es una función compuesta. Se escribe $(f \circ g)(x)$ y se lee "f de g de x". Está definida por $f(g(x))$. El álgebra intermedia lo dibuja en dos cajas: $x$ entra a $g$, sale $g(x)$, y eso entra a $f$. ^{2 4}

El orden se interpreta, no se ignora. Hacer primero $g$ y luego $f$ no es hacer primero $f$ y luego $g$. El libro lo advierte al leer el significado de la compuesta, y el ejemplo de la sección sirve para ver que las dos suelen dar salidas distintas. ²

El dominio tampoco es automático. El de $(f \circ g)$ son las entradas del dominio de $g$ para las cuales $g(x)$ está en el dominio de $f$. Se excluyen las entradas de $g$ cuya salida no es aceptable en $f$. Hay que conocer el dominio de cada una. Dónde una fórmula no acepta la entrada está en el dominio de cada fórmula. Qué significa evaluar una sola está en qué cuenta como evaluar f. ³

Ideas clave

• Operar. En la misma $x$, sumas, restas o multiplicas las salidas. No es composición. ¹
• Componer. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Se lee "f de g de x". ⁴
• Orden. La interna se calcula primero. Al revés, el resultado suele cambiar. ²
• Dominio. Solo entran las $x$ de $g$ cuya salida cae en el dominio de $f$. ³
• No es producto. El círculo de $\circ$ no multiplica $f(x)$ por $g(x)$.

Ejemplos resueltos

Suma contra composición

$f(x) = x^{2} - 1$ y $g(x) = 2x + 3$. Calcula $(f + g)(1)$ y $(f \circ g)(1)$.

1. Evalúa por separado en 1: $f(1) = 0$ y $g(1) = 5$. ⁵
2. La suma de salidas es $0 + 5 = 5$. Eso es $(f + g)(1)$. ¹
3. La composición mete la salida de $g$ en $f$: $f(g(1)) = f(5) = 25 - 1 = 24$. ⁴
4. 5 y 24 no son el mismo número. Sumar no es componer.
5. El producto $f(1) \cdot g(1) = 0$ tampoco es 24. El círculo no multiplica.

El orden cambia la fórmula

Con las mismas $f$ y $g$, escribe $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$.

1. Primero $g$: $g(x) = 2x + 3$.
2. Eso entra a $f$: $f(2x + 3) = (2x + 3)^{2} - 1 = 4x^{2} + 12x + 9 - 1 = 4x^{2} + 12x + 8$. ²
3. Al revés, primero $f$: $f(x) = x^{2} - 1$.
4. Eso entra a $g$: $g(x^{2} - 1) = 2(x^{2} - 1) + 3 = 2x^{2} - 2 + 3 = 2x^{2} + 1$.
5. $4x^{2} + 12x + 8$ y $2x^{2} + 1$ no son la misma expresión. El orden quedó escrito en el resultado. ²

Una salida que no entra

$g(x) = -x$ y $f(x) = \sqrt{x}$. ¿$x = 4$ está en el dominio de $(f \circ g)$?

1. $4$ está en el dominio de $g$: $g(4) = -4$.
2. Esa salida tiene que estar en el dominio de $f$. ³
3. $f$ es una raíz cuadrada. $-4$ no es un radicando permitido.
4. $4$ se excluye del dominio de la compuesta, aunque $g$ sí la acepte.
5. $x = -4$ sí sirve: $g(-4) = 4$ y $\sqrt{4} = 2$.

Errores comunes

Multiplicas $f(2)$ por $g(2)$ cuando el símbolo es $\circ$. El producto es otra operación algebraica. La composición aplica una función al resultado de la otra. En el ejemplo, el producto en 1 fue 0 y la composición fue 24. ^{1 4}

Inviertes el orden porque lees de izquierda a derecha y calculas $f$ primero en $(f \circ g)$. Se lee "f de g de x": lo de adentro, $g$, va primero. ⁴

Aceptas toda $x$ del dominio de $g$ sin mirar si $g(x)$ cabe en $f$. El dominio de la compuesta recorta esas entradas. ³

Cómo lo pregunta el examen

Da dos fórmulas y un número, y pide $(f \circ g)$ de ese número. Calculas la interna en el número y usas ese resultado como entrada de la externa. Las opciones suelen ser la suma, el producto o la composición al revés. ^{4 1}

Otra pide la expresión $(f \circ g)(x)$, no un número. Sustituyes la fórmula entera de $g$ en cada $x$ de $f$. Si desarrollas, hazlo hasta el final y compara con $(g \circ f)(x)$, que casi siempre es otra. ²

También preguntan el dominio de la compuesta cuando la externa tiene una raíz o un denominador. Resuelves la interna, impones la condición de la externa y tiras las entradas que no la cumplen. ³

Resumen

• Sumar funciones es sumar sus salidas en la misma entrada.
• $(f \circ g)(x)$ es $f(g(x))$, y se lee "f de g de x".
• La interna se calcula primero. El orden cambia el resultado.
• El círculo de la composición no significa multiplicar.
• El dominio de la compuesta solo guarda las entradas cuya salida interna cabe en la externa.