Dominio y rango de una función

¿Qué números puedes meter y cuáles salen?

El dominio de una función son los valores reales de entrada que no te hacen intentar una operación que no está definida. Precálculo nombra dos: dividir entre cero y sacar la raíz cuadrada de un número negativo. El rango es el conjunto de las salidas. Entrada y salida no son el mismo conjunto, aunque a veces los dos sean todos los reales. ^{1 5}

Con una raíz, el índice decide. Si el índice es par, el radicando tiene que ser mayor o igual que cero: la raíz par de un negativo no es real. Si el índice es impar, el radicando puede ser cualquier real. La clave de respuestas lo aplica: no hay restricción por una raíz cúbica, y el dominio son todos los reales. Para una raíz cuadrada, los valores quedan en los no negativos. ^{2 3}

Por eso el dominio de una raíz de índice par se encuentra con una desigualdad: el interior mayor o igual que cero. Cómo se resuelve esa comparación, y cuándo el signo se voltea, está en el caso del coeficiente negativo. El resultado se anota como intervalo. Paréntesis, corchete e infinito están en la escritura del conjunto solución.

Un cociente pide otro corte. El número que anula el denominador no entra al dominio, porque ahí estarías dividiendo entre cero. No es un detalle del rango: es una entrada prohibida. ¹

El polinomio es el caso sin esos cortes. La pregunta del libro es si toda función polinómica tiene como dominio todos los reales, y la respuesta es sí: cualquier real es una entrada válida. No hay denominador ni raíz par que recortar. ⁴

El rango no se lee del mismo corte. Es el conjunto de las $y$ que sí aparecen. En una lista de pares se ve directo: juntas las segundas componentes, sin repetir. En una fórmula, miras qué valores puede tomar la expresión. $x^{2}$ nunca da un negativo, así que el rango de $f(x) = x^{2}$ no es todos los reales aunque el dominio sí lo sea. Qué es una función, antes de hablar de estos conjuntos, está en la definición de una sola salida.

Ideas clave

• Dominio. Entradas que no piden dividir entre cero ni una raíz par de un negativo. ¹
• Raíz par. El radicando va mayor o igual que cero. La raíz impar no tiene esa veda. ^{3 2}
• Polinomio. Todo real es entrada válida. ⁴
• Rango. Salidas que la función alcanza, no las entradas. ⁵
• Intervalo. El dominio de una raíz par se escribe con corchete en el corte, porque el cero del radicando sí es real.

Ejemplos resueltos

Raíz par

Halla el dominio de $f(x) = \sqrt{x - 5}$.

1. El índice 2 es par. El interior tiene que cumplir $x - 5 \geq 0$. ³
2. Suma 5: $x \geq 5$.
3. El 5 hace el radicando cero, y la raíz de cero es real, así que el 5 entra.
4. En intervalo eso es $[5, \infty)$. El infinito no lleva corchete.
5. $x = 5$ da 0. $x = 4$ pediría la raíz de $-1$, que no es real. ²

Denominador

Halla el dominio de $h(x) = \frac{2}{x + 4}$.

1. La operación prohibida es dividir entre cero. ¹
2. $x + 4 = 0$ cuando $x = -4$.
3. Cualquier otro real deja el denominador distinto de cero.
4. El dominio es $(-\infty, -4) \cup (-4, \infty)$.
5. $x = -4$ no se prueba sustituyendo como si diera un número: la expresión no existe ahí.

Rango de un cuadrado

Describe dominio y rango de $p(x) = x^{2} + 2$.

1. Es un polinomio. El dominio es todos los reales. ⁴
2. $x^{2}$ es mayor o igual que cero para cualquier real, así que $x^{2} + 2$ es mayor o igual que 2.
3. El 2 se alcanza en $x = 0$: $p(0) = 2$.
4. El rango es $[2, \infty)$. No es el mismo conjunto que el dominio. ⁵
5. Un número como 1 no es salida: $x^{2} + 2 = 1$ pediría un cuadrado negativo.

Errores comunes

Quitas el cero del radicando. La desigualdad de la raíz par es mayor o igual, no mayor estricto. En cero la raíz es real. El corchete, no el paréntesis, va en ese corte. ³

Tratas la raíz cúbica como la cuadrada. La clave dice que la cúbica no restringe el dominio: se puede calcular en un negativo y el resultado es real. ²

Llamas rango al dominio. En $x^{2} + 2$ entran todos los reales y salen solo los números desde 2. Copiar el intervalo del dominio en la respuesta del rango falla aunque el dominio esté bien. ⁵

Cómo lo pregunta el examen

Te dan una fórmula con raíz o con fracción y cuatro intervalos. El primer paso es nombrar la operación que puede no existir. Raíz par: resuelves el interior mayor o igual que cero. Fracción: excluyes el cero del denominador y armas la unión. Polinomio: la opción de todos los reales. ^{1 3 4}

Otra pregunta separa dominio y rango en una tabla o en una parábola. El dominio se lee en las $x$. El rango, en las $y$ que la gráfica o la lista sí alcanza. Si la parábola abre hacia arriba y su vértice es el punto más bajo, el rango parte de esa altura e incluye el vértice. ⁵

También mezclan raíz cuadrada y cúbica en las opciones, para ver si vetas un negativo que la cúbica sí acepta. ²

Resumen

• El dominio excluye dividir entre cero y la raíz par de un negativo.
• En una raíz par el radicando es mayor o igual que cero, y el cero entra.
• La raíz impar y el polinomio aceptan cualquier real.
• El rango son las salidas que sí se obtienen, no las entradas.
• Esos conjuntos se escriben como intervalos, con corchete solo donde el borde entra.