Prueba de la recta vertical y funciones inyectivas

¿La gráfica es función, o además es inyectiva?

Precálculo usa la prueba de la línea vertical para una gráfica. Si puedes dibujar cualquier línea vertical que cruce el gráfico más de una vez, entonces no define una función, porque una función solo tiene un valor de salida para cada entrada. El modo es inspeccionar si alguna vertical cortaría la curva más de una vez. Si existe una así, no es función. ¹

Eso es el dibujo de la definición: cada entrada, una salida. La vertical es una $x$ fija. Si toca la curva dos veces, esa $x$ tiene dos $y$. La definición de función, en pares y en fórmula, está en el pacto de una salida por cada x. ³

La otra prueba mira al revés. Una función es uno a uno si cada valor del rango corresponde a un elemento del dominio. En los pares, cada $y$ queda con una sola $x$. El álgebra intermedia lo revisa con una horizontal: si toda horizontal corta la gráfica en a lo más un punto, la función es uno a uno. Si alguna horizontal la corta más de una vez, una salida viene de dos entradas y no es uno a uno. ²

Uno a uno es lo que en el examen llaman inyectiva. La vertical no responde esa pregunta. Una función puede pasar todas las verticales y fallar una horizontal. El cuadrado es el caso de libro: dos entradas pueden compartir salida, y eso sigue siendo función, pero ya no es uno a uno.

El orden de las pruebas importa en la opción. Primero vertical: ¿es función? Si no lo es, no sigas a la horizontal. Si sí lo es, la horizontal dice si además es inyectiva. ^{1 2}

Ideas clave

• Vertical. A lo más un corte. Si hay dos, esa $x$ tiene dos salidas y no es función. ¹
• Horizontal. A lo más un corte en una función. Si hay dos, una salida viene de dos entradas y no es uno a uno. ²
• Uno a uno. Cada valor del rango corresponde a un elemento del dominio. ²
• No se intercambian. La vertical no prueba la inyectiva. La horizontal no reemplaza a la vertical.
• Orden. Si falla la vertical, la conversación de inyectiva no empieza. ³

Ejemplos resueltos

Una curva que se regresa en x

Una gráfica pasa por $(1, 2)$ y por $(1, 5)$.

1. La recta $x = 1$ es vertical y contiene los dos puntos.
2. Corta la gráfica en más de un punto. ¹
3. La entrada 1 tiene salidas 2 y 5.
4. No es función. ³
5. No preguntes si es inyectiva: la primera prueba ya falló.

Parábola

$f(x) = x^{2} - 1$.

1. Una vertical $x = 3$ corta la parábola una vez, en $y = 8$. Cualquier otra vertical hace lo mismo: una $x$, un cuadrado.
2. Pasa la prueba vertical. Es función. ¹
3. La horizontal $y = 3$ corta donde $x^{2} - 1 = 3$, o sea $x^{2} = 4$, en $x = 2$ y $x = -2$.
4. Dos cortes. No es uno a uno. ²
5. $f(2) = 3$ y $f(-2) = 3$ confirman la misma salida en dos entradas.

Recta con pendiente

$f(x) = 2x + 1$.

1. Cada vertical corta a una recta no vertical una sola vez. Es función. ¹
2. Despeja una salida, por ejemplo $y = 5$: $2x + 1 = 5$ da $x = 2$, una sola entrada.
3. Cualquier horizontal $y = k$ da una sola $x$, porque el coeficiente de $x$ no es cero.
4. Pasa también la horizontal. Es uno a uno. ²
5. No confundas este resultado con la parábola: ahí la horizontal encontraba dos $x$.

Errores comunes

Usas la vertical para decir que es inyectiva. El corte único en vertical dice que es función. La inyectiva pide que la salida no se repita, y eso lo ve la horizontal. ^{1 2}

Rechazas una parábola como función porque una horizontal la corta dos veces. Esa horizontal habla de uno a uno, no de función. La parábola $x^{2} - 1$ sigue teniendo una sola $y$ por cada $x$. ³

Aplicas la horizontal a un dibujo que ya falla la vertical, y contestas "inyectiva" o "no inyectiva" como si fuera función. Si una $x$ tiene dos $y$, no hay función que inspeccionar con la segunda prueba.

Cómo lo pregunta el examen

Muestra una gráfica, a veces una circunferencia o una curva que se dobla sobre la misma $x$, y pregunta si es función. Buscas una vertical con dos cortes. Si la hay, no es función, aunque el dibujo sea una curva continua. ¹

Otra acepta que es función y pregunta si es inyectiva. Ahí la vertical ya no discrimina las opciones. Buscas una horizontal con dos cortes. La parábola los tiene. Una recta con pendiente no. ²

Las opciones suelen cruzar las pruebas a propósito: "es inyectiva porque la vertical corta una vez" es el distractor. La vertical, una vez, solo confirma la función. ^{1 2}

Resumen

• La recta vertical prueba si la gráfica es función.
• Dos cortes verticales significan dos salidas para una entrada.
• La recta horizontal prueba si una función es uno a uno, o inyectiva.
• Dos cortes horizontales significan una salida que viene de dos entradas.
• Las dos pruebas no se sustituyen.