Qué es una función y cómo evaluarla

¿Cuándo un emparejamiento es función?

Precálculo lo dice así: una función es una relación en la que cada valor de entrada posible conduce exactamente a un valor de salida. Los de entrada forman el dominio y los de salida, el rango. Otra forma del mismo libro: asigna un único valor del rango a cada valor del dominio, así que no se repiten las $x$. Si una $x$ aparece con dos $y$ distintas, eso ya no es función. ¹

El álgebra intermedia usa el cumpleaños para separar las dos direcciones. Cada persona tiene un cumpleaños y nadie tiene dos. Dos personas sí pueden cumplir el mismo día. Danny y Stephen comparten el 24 de julio, y June y Liz el 2 de agosto. Como cada persona tiene exactamente un día, la relación es función. El día repetido no la rompe. La rompería una persona con dos fechas. ³

Eso se ve en una lista de pares. $\{(1, 4),\ (2, 4),\ (5, 9)\}$ es función: 1, 2 y 5 salen una sola vez, aunque 4 se repita como salida. $\{(1, 4),\ (1, 7),\ (5, 9)\}$ no lo es: la entrada 1 tiene dos salidas. El orden del par importa. El primer número es la entrada.

La notación corta es $f(x)$. Se lee "f de x" o "el valor de f en x". El paréntesis no multiplica. $x$ es la variable independiente: puede ser cualquier valor del dominio. $y$ es la dependiente: su valor depende de $x$. Encontrar $f$ en un número dado se llama evaluar la función. Se sustituye y se simplifica, el mismo gesto que en una ecuación cuando ya conoces la $x$. ²

Si la fórmula es $f(x) = 2x - 3$ y quieres el valor en 4, escribes $f(4)$, cambias $x$ por 4 y calculas $2(4) - 3 = 5$. El libro hace ese mismo gesto con otra fórmula y concluye que el valor en el punto pedido es 3. El método no cambia con los números: sustituir, operar, leer la salida. ²

El dominio y el rango como conjuntos, con los huecos de las raíces pares y de los denominadores, están en los conjuntos de entrada y de salida. Si la fórmula todavía no está despejada para $y$, el caso de la regla tácita está en la forma que no aísla la salida.

Ideas clave

• Una salida. Cada entrada permitida tiene exactamente un resultado. Si una entrada tiene dos, no es función. ¹
• Salida repetida. Dos entradas pueden dar el mismo número. El cumpleaños compartido sigue siendo función. ³
• $f(x)$. Se lee "f de x". El paréntesis no es un producto. ²
• Evaluar. Sustituyes el número en la fórmula y simplificas. No despejas. ²
• Pares. El primer componente es la entrada. Una entrada repetida con segunda componente distinta rompe la función.

Ejemplos resueltos

Una lista de pares

Di si $\{(0, 2),\ (3, 2),\ (4, -1)\}$ es función.

1. Mira solo las primeras componentes: 0, 3 y 4. Ninguna se repite.
2. La salida 2 aparece dos veces, en 0 y en 3. Eso está permitido: dos entradas, una misma salida. ³
3. Cada entrada tiene una sola segunda componente.
4. Sí es función. El rango de esta lista es $\{2,\ -1\}$ y el dominio es $\{0,\ 3,\ 4\}$. ¹
5. Si alguien agrega el par $(3, 8)$, la entrada 3 queda con 2 y con 8. Ahí deja de ser función.

Sustituir en una fórmula

Si $f(x) = 3x - 4$, calcula $f(2)$ y $f(-1)$.

1. $f(2)$ se lee "f de 2", no "f por 2". ²
2. Cambia $x$ por 2: $3(2) - 4 = 2$.
3. Cambia $x$ por $-1$: $3(-1) - 4 = -7$.
4. No despejes. La pregunta ya te dio la entrada.
5. Comprueba el primero al revés: si la salida es 2, $3x - 4 = 2$ da $x = 2$, que es la entrada que usaste.

La misma salida no basta para negar

$g(x) = x^{2} - 1$. Compara $g(2)$ y $g(-2)$.

1. $g(2) = 4 - 1 = 3$.
2. $g(-2) = 4 - 1 = 3$.
3. Dos entradas, una salida. La definición lo permite. ^{1 3}
4. Sigue siendo función: cada entrada, sola, produjo un número.
5. Lo que esto no dice es si la función es inyectiva. Esa prueba es otra y vive en la recta horizontal.

Errores comunes

Lees $f(2)$ como $f \cdot 2$. El libro advierte que el paréntesis de la notación no indica multiplicación. Si la fórmula es $3x - 4$, $f(2)$ es 2, no "f por 2". ²

Declaras que no es función porque dos pares comparten la segunda componente. El criterio es la primera. El ejemplo del cumpleaños está armado precisamente para eso: el mismo día en dos personas no rompe la relación. ³

Despejas $x$ cuando el reactivo pide evaluar. Evaluar va de la entrada a la salida. Si ya te dieron $x = 2$, sustituye. Despejar corresponde a otra pregunta, la que te da la salida y pide la entrada.

Cómo lo pregunta el examen

Una forma da cuatro pares o una tabla y pregunta si es función. Recorres la columna de entradas. Una entrada con dos salidas distintas es la opción que niega la función. Una salida repetida no alcanza para negarla. ^{1 3}

Otra da $f(x)$ y un número, a veces negativo o una fracción. El trabajo es sustituir con el signo bien puesto. $3(-1)$ no es $3 - 1$. El paréntesis de $f(-1)$ tampoco se multiplica por la letra $f$. ²

También piden $f(a)$ con la fórmula al lado, para ver si distingues la notación de un producto. Lees "el valor de f en a" y sustituyes $a$ en cada $x$. ²

Resumen

• Cada entrada de una función tiene una sola salida.
• Dos entradas pueden compartir la misma salida.
• $f(x)$ se lee "f de x" y el paréntesis no multiplica.
• Evaluar es sustituir el número y simplificar.
• Una entrada repetida con dos salidas distintas ya no es función.