Determinantes y regla de Cramer

¿Cómo da un determinante el valor de cada incógnita?

Una matriz cuadrada tiene el mismo número de renglones y de columnas. A cada una le corresponde un número, su determinante. En una de 2 por 2, con primer renglón $a$, $b$ y segundo renglón $c$, $d$, ese número es $ad - bc$. Se escribe entre barras, no entre corchetes. Es el producto de una diagonal menos el producto de la otra. ¹

Para el sistema $a_1 x + b_1 y = k_1$ y $a_2 x + b_2 y = k_2$, Cramer dice que $x = D_x / D$ y $y = D_y / D$. $D$ se arma con los coeficientes de las variables, primer renglón $a_1$, $b_1$ y segundo $a_2$, $b_2$. $D_x$ pone las constantes en lugar de los coeficientes de $x$. $D_y$ pone las constantes en lugar de los coeficientes de $y$. ²

El orden de trabajo es fijo. Calculas $D$. Calculas $D_x$ con las constantes en la columna de $x$. Calculas $D_y$ con las constantes en la columna de $y$. Sacas $x$ y $y$. Escribes el par ordenado. Lo pruebas en las dos ecuaciones originales. ²

Con tres ecuaciones y tres incógnitas el patrón sigue: $x = D_x / D$, $y = D_y / D$ y $z = D_z / D$. $D$ usa todos los coeficientes. Cada determinante de arriba reemplaza una sola columna de variable por la columna de constantes. ²

La regla da la solución única cuando existe. Si $D = 0$, estarías dividiendo entre cero y la regla no se aplica así. Ahí el sistema es inconsistente o dependiente. Si $D$, $D_x$ y $D_y$ valen todos cero, el sistema es consistente y dependiente: hay infinitas soluciones. Si $D$ es cero y no todos esos otros determinantes son cero, el sistema es inconsistente: no hay solución. Con tres variables entra también $D_z$ en esa misma lectura. ³

Para un determinante de 3 por 3 puedes ampliar la matriz con sus dos primeras columnas. Sumas las tres diagonales que bajan de izquierda a derecha y restas las tres que suben de izquierda a derecha. ⁴

Otra cuenta es la expansión por menores en el primer renglón. El determinante vale $a_1$ por el menor de $a_1$, menos $b_1$ por el menor de $b_1$, más $c_1$ por el menor de $c_1$. El menor de una entrada es el determinante que queda al borrar el renglón y la columna de esa entrada. El signo del primer renglón alterna más, menos, más. ^{5 1}

Si solo quieres el par y las ecuaciones ya están claras, sustitución o suma sigue siendo válido. Cramer es el camino cuando el reactivo pide el determinante o la columna reemplazada.

Ideas clave

• 2 por 2. El determinante con renglones $a$, $b$ y $c$, $d$ es $ad - bc$. ¹
• Cramer. $D$ lleva los coeficientes. $D_x$ cambia la columna de $x$ por las constantes. $x$ es el cociente. ²
• Tres variables. Aparece $D_z$, con las constantes en la columna de $z$. El cociente es el mismo esquema. ²
• 3 por 3. Se amplía con las dos primeras columnas, se suman unas diagonales y se restan las otras. ⁴
• Cero. $D = 0$ no se divide. Todos los determinantes en cero: infinitas soluciones. $D$ en cero y otro distinto: ninguna. ³

Ejemplos resueltos

Dos ecuaciones

Resuelve $3x - y = 5$ y $x + 2y = 11$ con Cramer.

1. $D$ usa los coeficientes: primer renglón $3$, $-1$ y segundo $1$, $2$. ²
2. $D = 3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = 6 - (-1) = 7$. ¹
3. $D_x$ cambia la columna de $x$ por $5$ y $11$: renglones $5$, $-1$ y $11$, $2$. $D_x = 5 \cdot 2 - (-1) \cdot 11 = 10 + 11 = 21$.
4. $D_y$ cambia la columna de $y$: renglones $3$, $5$ y $1$, $11$. $D_y = 3 \cdot 11 - 5 \cdot 1 = 33 - 5 = 28$.
5. $x = 21 / 7 = 3$ y $y = 28 / 7 = 4$. El par es $(3, 4)$.
6. Primera: $9 - 4 = 5$. Segunda: $3 + 8 = 11$.

Tres ecuaciones

Resuelve $2x + y + z = 7$, $x - y + z = 2$ y $x + y - z = 0$.

1. $D$ es el determinante de coeficientes. Amplía con las dos primeras columnas. ^{4 2}
2. Diagonales que bajan: $2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 2$, $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ y $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Suman 4.
3. Diagonales que suben: $1 \cdot (-1) \cdot 1 = -1$, $1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ y $-1 \cdot 1 \cdot 1 = -1$. Suman 0.
4. $D = 4 - 0 = 4$.
5. $D_x$ lleva las constantes $7$, $2$, $0$ en la primera columna. Al ampliar, las diagonales que bajan suman $7 + 0 + 2 = 9$ y las que suben suman $0 + 7 + (-2) = 5$. $D_x = 9 - 5 = 4$.
6. $D_y$ lleva esas constantes en la segunda columna. Las que bajan suman $-4 + 7 + 0 = 3$. Las que suben suman $2 + 0 + (-7) = -5$. $D_y = 3 - (-5) = 8$.
7. $D_z$ las lleva en la tercera. Las que bajan suman $0 + 2 + 7 = 9$. Las que suben suman $-7 + 4 + 0 = -3$. $D_z = 9 - (-3) = 12$.
8. $x = 4 / 4 = 1$, $y = 8 / 4 = 2$, $z = 12 / 4 = 3$.
9. Comprueba: $2 + 2 + 3 = 7$, $1 - 2 + 3 = 2$ y $1 + 2 - 3 = 0$.

Cuando D es cero

Mira $x + y = 5$ y $2x + 2y = 10$. Después cambia la segunda por $2x + 2y = 8$.

1. En las dos versiones, $D = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0$. No hay división. ³
2. En la primera versión, $D_x = 5 \cdot 2 - 1 \cdot 10 = 0$ y $D_y = 1 \cdot 10 - 5 \cdot 2 = 0$. Los tres son cero: infinitas soluciones. Las ecuaciones son la misma recta.
3. En la segunda, $D_x = 5 \cdot 2 - 1 \cdot 8 = 2$, que no es cero. Entonces no hay solución. Una recta no puede ser el doble de la otra y a la vez tener otra constante.
4. Confirma sin determinantes. La segunda ecuación del primer caso es justo el doble de la primera. En el otro caso, el doble de $x + y = 5$ sería $2x + 2y = 10$, no 8.

Errores comunes

Restas las diagonales al revés, o las sumas. En 2 por 2 el número es $ad - bc$, no $bc - ad$ y no $ad + bc$. Con renglones $3$, $-1$ y $1$, $2$, hacer $6 + 1$ en lugar de $6 - (-1)$ no da 7. El signo del segundo producto ya trae el menos de la fórmula. ¹

Llamas $D$ al determinante que ya tiene las constantes. $D$ es el de los coeficientes. $D_x$ es el que reemplazó la columna de $x$. Si el reactivo pregunta por $D_x$ y contestas $D$, o contestas el valor de $x$, son tres números distintos. En el ejemplo, 7, 21 y 3 no se intercambian. ²

Divides aunque $D$ sea cero. La regla no trabaja en ese caso, porque el cociente partiría entre cero. Antes de dividir, mira si los determinantes de las constantes también son cero. Todos en cero es un sistema dependiente. Uno distinto de cero, con $D$ en cero, es inconsistente. ³

En 3 por 3 restas en el orden contrario: sumas las diagonales que suben y restas las que bajan. El libro suma las que van de la esquina superior izquierda hacia abajo y resta las que van de la esquina inferior izquierda hacia arriba. Voltear esa resta cambia el signo de $D$ y, con él, el signo de cada incógnita. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

Un reactivo muestra una matriz de coeficientes de 3 por 3 y pide el determinante. Puedes ampliar con las dos primeras columnas o expandir por el primer renglón. Los distractores suelen ser el mismo valor con signo cambiado, una cuenta que no alternó el signo del menor de en medio, o una suma de las dos familias de diagonales en lugar de una resta. ^{4 5}

Otro pide resolver el sistema de tres ecuaciones. Calculas cuatro determinantes, divides y pruebas la terna en las tres ecuaciones. Una terna que solo cumple la primera no es la solución. El cociente $D_x / D$ es $x$, no un determinante suelto.

También preguntan, en un sistema de dos por dos, cuál es $D_x$. Es el determinante que ya trae la columna de constantes en el lugar de $x$, evaluado con $ad - bc$. No es $D$ y no es el valor de $x$. Si $D$ no es cero, $x = D_x / D$ después, en un paso aparte. ^{1 2}

Resumen

• El determinante 2 por 2 con entradas $a$, $b$, $c$, $d$ es $ad - bc$.
• $x$ es $D_x / D$ y $y$ es $D_y / D$. Con tres variables se agrega $D_z / D$.
• $D$ usa coeficientes. Cada otro determinante reemplaza una sola columna.
• Un 3 por 3 se puede ampliar con dos columnas y restar las diagonales que suben.
• Si $D$ es cero, no hay una solución única: o hay infinitas, o no hay ninguna.