Problemas que se resuelven con un sistema de ecuaciones

¿Cómo se pasa de un enunciado a dos ecuaciones?

La estrategia del libro es una lista corta. Lees el problema hasta entender las palabras. Identificas qué estás buscando. Le pones nombre, con una variable para cada cantidad. Traduces el texto a un sistema. Resuelves con álgebra ordenada. Compruebas que la respuesta tenga sentido dentro del problema. Cierras con una frase que contesta lo que preguntaron. ¹

El sistema que armas no es decoración. En dos variables, un par es solución solo si cada ecuación queda verdadera por separado. Por eso un número que cumple el total de objetos y falla en el total de dinero no sirve. ²

Casi todos estos enunciados traen dos frases de cantidad. Una dice cuántos objetos, personas o pesos hay en total. La otra mezcla las dos clases con otro total: otro precio, otro porcentaje, otra medida. Cada frase es una ecuación. Si las escribes al revés, el álgebra puede salir "bien" y el problema queda mal.

Para resolver, usas lo que ya sabes de sistemas de dos ecuaciones. Si una ecuación es una suma simple, despejar ahí y sustituir en la otra suele ser lo más corto. Si los coeficientes ya se pueden volver opuestos, sumas. ^{3 4}

El último paso no es opcional. El libro pide revisar la respuesta en el problema, no solo en el despeje, y contestar con una frase completa. Un valor negativo para un número de personas, o un precio mayor que el total, avisa que la traducción se torció. ¹

Ideas clave

• Dos datos, dos ecuaciones. Cada frase independiente del enunciado se escribe aparte. Juntarlas en una sola cuenta pierde una condición. ¹
• Nombres. Eliges la variable antes de operar. $a$ puede ser manzanas y $p$ peras, no "lo que sobre". ¹
• Traducción. "En total" es una suma. Un precio por pieza multiplica a la cantidad de esa pieza. ¹
• Método. Sustituyes cuando una variable ya está fácil de despejar. Sumas cuando un coeficiente se vuelve el opuesto del otro. ^{3 4}
• Cierre. Los dos números regresan al texto. La frase final dice la cantidad que preguntaron. ^{1 2}

Ejemplos resueltos

Dos frutas

Cuatro manzanas y una pera cuestan 42 pesos. Dos manzanas y tres peras cuestan 46 pesos. ¿Cuánto cuesta cada fruta?

1. Buscas el precio de una manzana y el de una pera. Esos son los dos nombres. ¹
2. Sea $m$ el precio de una manzana y $p$ el de una pera, en pesos.
3. Traduce: $4m + p = 42$ y $2m + 3p = 46$.
4. De la primera, $p = 42 - 4m$. Sustituye en la segunda: $2m + 3(42 - 4m) = 46$. ³
5. Queda $2m + 126 - 12m = 46$, luego $-10m = -80$ y $m = 8$. Entonces $p = 42 - 32 = 10$.
6. Cuatro manzanas y una pera: $32 + 10 = 42$. Dos manzanas y tres peras: $16 + 30 = 46$. Una manzana cuesta 8 pesos y una pera 10.

Taller con dos precios

En un taller hay 40 personas, entre estudiantes y docentes. Cada estudiante pagó 25 pesos y cada docente pagó 40. Se juntaron 1180 pesos. ¿Cuántos docentes había?

1. Buscas las dos cantidades de personas. El dinero es el segundo dato, no una tercera incógnita. ¹
2. Sea $e$ el número de estudiantes y $d$ el de docentes.
3. Personas: $e + d = 40$. Dinero: $25e + 40d = 1180$.
4. Despeja $e = 40 - d$ y sustituye: $25(40 - d) + 40d = 1180$. ³
5. $1000 - 25d + 40d = 1180$, así que $15d = 180$ y $d = 12$. Entonces $e = 28$.
6. Estudiantes: $25 \cdot 28 = 700$ pesos. Docentes: $40 \cdot 12 = 480$. Juntos son 1180, y $28 + 12 = 40$. Había 12 docentes.

Dos precios de bebida

Un puesto vendió 30 bebidas: agua a 12 pesos y jugo a 18. El total fue 468 pesos. ¿Cuántos jugos vendió?

1. Buscas cuántas aguas y cuántos jugos. La pregunta pide solo los jugos, pero el par se resuelve completo. ¹
2. Sea $a$ el número de aguas y $j$ el de jugos.
3. Cantidad: $a + j = 30$. Dinero: $12a + 18j = 468$.
4. De la primera, $a = 30 - j$. En la del dinero: $12(30 - j) + 18j = 468$. ³
5. $360 - 12j + 18j = 468$, luego $6j = 108$ y $j = 18$. Entonces $a = 12$.
6. Doce aguas son $12 \cdot 12 = 144$ pesos. Dieciocho jugos son $18 \cdot 18 = 324$. La suma es 468, y $12 + 18 = 30$. Vendió 18 jugos.

Errores comunes

Usas una sola ecuación con las dos condiciones metidas a la fuerza. "30 bebidas y 468 pesos" no es $30 + 468$. Son relaciones distintas: una cuenta piezas y la otra cuenta pesos. Si falta una ecuación, te queda una variable libre y el problema no tiene un solo par. ¹

Nombras al revés y contestas la variable que no pidieron. En las bebidas, $j = 18$ son los jugos y $a = 12$ son las aguas. Si el reactivo pide jugos y marcas 12, el sistema estaba bien y la frase final no. Por eso el libro pide contestar la pregunta, no solo hallar "la $x$". ¹

Compruebas el despeje y no el texto. Sustituir en $a = 30 - j$ solo verifica tu álgebra interna. Hay que reconstruir las 30 bebidas y los 468 pesos. Si un precio da negativo, o el interés pasa del dinero guardado, la traducción falló aunque la aritmética cuadre. ^{1 2}

Multiplicas el precio de una clase por la cantidad de la otra. En el taller, 40 pesos es la cuota docente. Si armas $25d + 40e$, el total de 1180 puede dar números que no son 12 y 28, y el texto deja de cuadrar. Cada precio va con su propia cantidad.

Cómo lo pregunta el examen

El patrón es estable. Hay dos clases de objetos, dos precios o dos tasas, y dos totales. Una opción correcta trae el par que cumple las dos frases. Los distractores suelen cumplir una sola: el total de piezas sin el dinero, o el dinero con las cantidades intercambiadas.

Cuando pregunten solo una cantidad, igual escribe las dos ecuaciones. Resuelve el par. Lee de nuevo qué pidieron y contesta esa. En el taller la pregunta puede ser los docentes, no los estudiantes y no el total de pesos.

Si las ecuaciones ya vienen armadas, el trabajo que queda es el del sistema: sustituir o sumar, y probar el par en las dos. El planteo y la resolución se califican juntos cuando el enunciado todavía está en palabras. ^{4 2}

Resumen

• Lees, nombras las dos cantidades y traduces cada dato a una ecuación.
• Una ecuación no alcanza si el enunciado trae dos condiciones.
• Sustituyes o sumas, como en cualquier sistema de dos por dos.
• Los números se prueban en los totales del texto, con sus unidades.
• La frase final contesta la cantidad que preguntaron.