Lenguaje algebraico

¿Cómo se escribe una frase en álgebra?

En álgebra hay dos piezas distintas. Una expresión es un número, una letra o una combinación de números y letras con símbolos de operación. Todavía no afirma un hecho: es como una frase suelta en español. Una ecuación son dos expresiones unidas por un signo de igual. Al leerla, el igual hace de verbo y la oración queda completa. "La suma de tres y cinco es igual a ocho" es una ecuación. "La suma de tres y cinco", sin el igual, es solo una expresión. ¹

Las cuatro operaciones tienen nombres fijos. La suma de $a$ y $b$ es $a + b$. La diferencia de $a$ y $b$ es $a - b$. El producto de $a$ y $b$ es $a \cdot b$. El cociente de $a$ y $b$ es $a$ entre $b$: $a$ es el dividendo y $b$ el divisor. El igual se lee "$a$ es igual a $b$". ²

La tabla de frases agrega otras maneras de decir lo mismo. Para la suma también sirven "aumentado en", "más que", "el total de" y "sumado a". Para la resta, "disminuido en", "menos que" y "restado de". El orden de la resta no sigue el orden de las palabras. "$b$ menos que $a$" y "$b$ restado de $a$" se escriben $a - b$. "El doble de $a$", o "dos veces $a$", es $2a$. "$b$ dividido entre $a$" en el sentido de "$b$ cabe en $a$" queda $a / b$: el que se reparte es el primero de la expresión. El cociente de $a$ y $b$, y la razón de $a$ y $b$, también son $a$ entre $b$. Las palabras "de" y "y" marcan los dos números sobre los que actúa la operación. ⁴

El exponente nombra potencias. $a^2$ se lee "$a$ al cuadrado" o "$a$ a la segunda potencia". $a^3$ se lee "$a$ al cubo". Si la potencia cae sobre una resta o una suma, el paréntesis agrupa esa expresión antes de elevarla. El cuadrado de la diferencia de $m$ y $4$ es $(m - 4)^2$. La diferencia de los cuadrados, $m^2 - 4^2$, es otra frase: primero cada pieza al cuadrado y después la resta. ^{3 4}

Esa distinción es la que el examen usa para armar el enunciado. Lees la operación, decides el orden y, si hay un igual, cierras la ecuación. Si no hay igual, te quedas en la expresión. Un número concreto al final sirve para ver si la frase y la escritura cuentan lo mismo. ^{1 4}

Ideas clave

• Expresión. Número, letra o combinación con operaciones. No afirma nada todavía. ¹
• Ecuación. Dos expresiones unidas por igual. Se lee como una oración. ¹
• Nombres. Suma, diferencia, producto y cociente. El cociente lleva primero al dividendo. ²
• Orden de la resta. "Menos que" y "restado de" escriben primero lo que queda. El doble es $2a$. ⁴
• Potencia. Al cuadrado es exponente 2. Si la potencia cubre una resta, el paréntesis va antes. ³

Ejemplos resueltos

El triple de una suma

Traduce "el triple de la suma de un número y 5".

1. La suma de un número y 5 es $n + 5$. ²
2. El triple de esa suma multiplica el resultado, no solo la letra. Hace falta el paréntesis: $3(n + 5)$. ⁴
3. Sin paréntesis, $3n + 5$ es "el triple del número, aumentado en 5", que es otra frase. ⁴
4. Prueba con $n = 2$. La suma es 7 y el triple es 21. $3(2 + 5) = 21$. $3 \cdot 2 + 5 = 11$, así que esa escritura no dice lo mismo.

Cinco menos que el doble

Traduce "cinco menos que el doble de un número".

1. El doble del número es $2n$. ⁴
2. "Cinco menos que" ese doble pone el doble primero y resta 5: $2n - 5$. ⁴
3. $5 - 2n$ se leería "el doble restado de cinco", o "cinco disminuido en el doble". No es la frase del enunciado. ⁴
4. Con $n = 6$, el doble es 12 y cinco menos que 12 es 7. $2 \cdot 6 - 5 = 7$. $5 - 12 = -7$, que es otro resultado.

Una oración con cociente

Traduce "el cociente de un número y 4, aumentado en 3, es 8".

1. El cociente del número y 4 es $n / 4$. El número es el dividendo. ²
2. Aumentado en 3 suma 3 a ese cociente: $n / 4 + 3$. ⁴
3. "Es 8" cierra la oración con un igual. La ecuación queda $\frac{n}{4} + 3 = 8$. ¹
4. Con $n = 20$, $20 / 4 + 3 = 8$. La frase y la ecuación coinciden.

Errores comunes

Escribes la resta en el orden en que suena. "Siete menos que el doble" no empieza por 7. La tabla pone primero la cantidad de la que se resta. El doble va delante y el siete se resta. ⁴

Elevas cada pieza y crees que ya elevaste la diferencia. "El cuadrado de la diferencia" agrupa la resta y después pone el exponente. "La diferencia de los cuadrados" eleva primero y resta después. Las dos frases se leen parecido y se escriben distinto. ^{3 4}

Cierras con un igual una frase que no afirma nada. Si el enunciado pide la expresión, el igual sobra. El igual aparece cuando la frase ya es una oración: "es", "da" o "equivale". ¹

Cómo lo pregunta el examen

Un reactivo muestra una frase y cuatro escrituras. Busca la operación por su nombre: suma, diferencia, producto, cociente, doble o cuadrado. Después mira el orden. En la resta, "menos que" y "restado de" no copian el orden de las palabras. En el cociente, el primer nombre es el que se divide. ^{2 4}

Otro da la escritura y pide el enunciado. Lee el igual como verbo. Si no hay igual, la respuesta es una frase, no una oración. Si hay paréntesis, la operación de afuera cae sobre todo lo de adentro: el triple de una suma no es el triple de la letra más el otro número. ^{1 4}

También aparece el cuadrado de una diferencia junto a la diferencia de cuadrados. El paréntesis decide. $(a - b)^2$ eleva la resta. $a^2 - b^2$ resta los cuadrados. No son la misma frase. ³

Resumen

• Una expresión no tiene igual. Una ecuación sí, y se lee como oración.
• Suma, diferencia, producto y cociente tienen una escritura fija.
• "Menos que" invierte el orden: lo que queda se escribe primero.
• El doble es dos veces la cantidad. El cuadrado es exponente 2.
• Si la potencia cubre una operación, esa operación va entre paréntesis.