Ecuaciones de primer grado y propiedades de la igualdad

¿Qué le puedes hacer a una igualdad?

Una ecuación lineal en una variable se puede escribir $ax + b = 0$, donde $a$ y $b$ son reales y $a$ no es cero. La letra aparece a la primera potencia. Resolverla es dejar esa letra sola, con coeficiente 1, de un lado del igual. ¹

Cuatro propiedades lo permiten. Si $a = b$, entonces $a + c = b + c$ y $a - c = b - c$. Sumar o restar el mismo número en los dos lados no rompe la igualdad. Con eso se deshace una suma o una resta pegada a la letra. Si $a = b$, entonces $ac = bc$. Y si además $c$ no es cero, $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$. Multiplicar o dividir los dos lados por el mismo número distinto de cero tampoco rompe la igualdad. Dividir entre cero no está permitido. ^{3 4}

La estrategia junta esos pasos. Primero se simplifica cada lado: se quitan paréntesis y se juntan términos semejantes. Después se reúnen las letras en un lado con una suma o una resta. Luego se reúnen los números en el otro lado, otra vez con suma o resta. Al final se deja el coeficiente de la letra en 1, multiplicando o dividiendo. La comprobación sustituye ese valor en la ecuación original. Si la oración queda verdadera, el número es solución. Si queda falsa, no lo es. ¹

No toda ecuación lineal deja un solo número. Una ecuación condicional es verdadera para uno o más valores y falsa para el resto. Una identidad es verdadera para cualquier valor de la letra: al simplificar, las letras desaparecen y queda un enunciado cierto, como $14 = 14$. Su solución es todo número real. Una contradicción es falsa para todos los valores: las letras desaparecen y queda algo imposible, como $0 = 9$. No tiene solución. ²

Si la ecuación trae fracciones, se multiplican los dos lados por el común denominador y las fracciones desaparecen. Ese paso usa la propiedad del producto. El manejo de la barra y del común está en fracciones y jerarquía. ^{1 4}

La misma idea despeja una fórmula. Se deja la letra pedida de un lado, con coeficiente 1, y todo lo demás del otro. En $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, despejar $h$ da $h = \frac{3V}{\pi r^2}$. En $8x + 7y = 15$, restar $8x$ y dividir entre 7 deja $y$ sola. El orden es el de la ecuación lineal: quitar lo que estorba con la operación inversa, siempre en los dos lados. ⁵

Ideas clave

• Forma. Una lineal cabe en $ax + b = 0$, con $a$ distinto de cero. ¹
• Suma y resta. El mismo número en los dos lados conserva el igual. ³
• Producto y cociente. También, si el divisor no es cero. ⁴
• Tres finales. Un valor (condicional), todos los reales (identidad) o ninguno (contradicción). ²
• Fórmula. La letra pedida queda sola, con coeficiente 1. ⁵

Ejemplos resueltos

Paréntesis y términos de los dos lados

Resuelve $4(x + 1) - 2 = 2x + 10$.

1. Quita el paréntesis: $4x + 4 - 2 = 2x + 10$, y junta: $4x + 2 = 2x + 10$. ¹
2. Resta $2x$ en los dos lados: $2x + 2 = 10$. ³
3. Resta 2 en los dos lados: $2x = 8$. Divide entre 2: $x = 4$. ⁴
4. Sustituye en la original. $4(4 + 1) - 2 = 18$ y $2 \cdot 4 + 10 = 18$. El igual se sostiene.

Identidad y contradicción

Clasifica $2(y + 3) = 2y + 6$ y $2(y + 3) = 2y + 5$.

1. En la primera, el paréntesis da $2y + 6 = 2y + 6$. Resta $2y$ y queda $6 = 6$, que es cierto. ¹
2. Es una identidad. Cualquier número real la cumple. ²
3. En la segunda, el paréntesis da $2y + 6 = 2y + 5$. Resta $2y$ y queda $6 = 5$, que es falso. ³
4. Es una contradicción. Ningún valor de $y$ la hace verdadera. ²

Despejar el lado de un cuadrado

El perímetro de un cuadrado es $P = 4\ell$. Despeja $\ell$.

1. $\ell$ está multiplicado por 4. La operación inversa es dividir. ⁵
2. Divide los dos lados entre 4, que no es cero: $\ell = \frac{P}{4}$. ⁴
3. Con $P = 20$, $\ell = 5$. Vuelve a la fórmula: $4 \cdot 5 = 20$. El despeje sirve.

Errores comunes

Operas en un solo lado. Pasar un término "al otro lado" es restarlo o sumarlo en los dos. Si solo lo borras de un lado y lo escribes en el otro con el signo cambiado, el efecto es el mismo, pero el signo se cambia una vez. Cambiarlo otra vez al copiarlo deja la ecuación distinta. ³

Divides entre el número que está sumando. Si la ecuación es $2x + 6 = 10$, el 6 se quita restando, no dividiendo. Dividir entre 2 toca a todo el lado, incluido el 6, y solo cuando ya quieres dejar el coeficiente en 1. ^{1 4}

Llamas solución al número que salió aunque las letras hayan desaparecido. Si queda $6 = 6$, no hay un valor suelto: hay identidad y entran todos los reales. Si queda $6 = 5$, no hay solución. Anotar "$y = 0$" en cualquiera de los dos casos no comprueba la original. ²

Cómo lo pregunta el examen

Un reactivo da una ecuación con paréntesis y pide el valor. Simplifica cada lado, junta las letras, junta los números y divide al final. La comprobación se hace en la ecuación de origen, no en un paso intermedio. Si el coeficiente de la letra es más grande del otro lado, puedes reunir las letras allá y evitar un negativo. ¹

Otro pregunta qué propiedad se usó al pasar de una ecuación a la siguiente. Sumar o restar el mismo número es la propiedad de suma o de resta. Multiplicar o dividir los dos lados, con divisor distinto de cero, es la de producto o de cociente. Quitar un paréntesis no es una de esas cuatro: es la distributiva, y va antes de mover términos. ^{3 4}

También hay que distinguir ecuación, identidad y contradicción. Si al simplificar las letras se cancelan y el número que queda es cierto, la solución es todo real. Si el número es falso, no hay solución. Despejar una fórmula es el mismo trabajo con más de una letra: la pedida se queda sola. ^{2 5}

Resumen

• Una ecuación de primer grado cabe en $ax + b = 0$, con $a$ distinto de cero.
• Sumar, restar, multiplicar o dividir se hace en los dos lados, y no se divide entre cero.
• Primero se simplifica, luego se juntan letras y números, y al final el coeficiente queda en 1.
• Identidad: todos los reales. Contradicción: ninguno. Condicional: los valores que la hacen cierta.
• En una fórmula, la letra pedida queda sola y lo demás pasa al otro lado.