Problemas que se resuelven con una ecuación

¿Cómo se arma la ecuación de un problema?

Cuando ya sabes resolver una ecuación, el paso nuevo es escribirla a partir del enunciado. La estrategia tiene siete momentos. Lees hasta entender las palabras. Dices qué estás buscando. Le pones nombre: una letra para esa cantidad. Traduces el enunciado a una ecuación. A veces ayuda reescribir el problema en una sola oración y después pasar esa oración al álgebra. Resuelves con las propiedades de la igualdad. Compruebas que la respuesta tenga sentido en el problema. Cierras con una oración que contesta lo que preguntaron. ¹

La traducción usa el lenguaje de las operaciones. "La suma de cuatro veces un número y seis es 34" se vuelve una ecuación porque "es" pone el igual. El trabajo de plantear está en esa oración. Resolverla es el paso de después. Si el resultado no vuelve a armar la frase, la traducción quedó mal aunque el despeje esté bien hecho. ¹

Si el problema habla de dos números, la tentación es usar dos letras. Con una sola ecuación no alcanza. Se elige una letra para el primero y el segundo se escribe a partir de esa, leyendo cómo se relacionan. "Uno es nueve menos que el otro" deja el primero como $n$ y el segundo como $n - 9$. La suma, o la otra condición, cierra la ecuación. ²

Los enteros consecutivos son los que se siguen de inmediato. Si el primero es $n$, el siguiente es $n + 1$ y el de después es $n + 2$. Cada uno es uno más que el anterior. Los consecutivos pares, y también los consecutivos impares, saltan de dos en dos: $n$, $n + 2$ y $n + 4$. No cambia el patrón según pidan pares o impares. Cambia el primer número que elijas, que tiene que ser par o impar según el enunciado. ³

La comprobación no es sustituir en la ecuación que escribiste y ya. Esa cuenta solo dice que resolviste bien lo que planteaste. Hay que volver al texto: si pedían tres enteros que suman cierto total, suma esos enteros. Si pedían edades dentro de unos años, suma esas edades futuras. Y contesta la pregunta. A veces el álgebra da el menor y el enunciado pide el mayor. ¹

Los problemas de dos ecuaciones, cuando hay dos condiciones que no caben en una sola letra, se trabajan con un sistema. Aquí el enunciado alcanza con una. La guía de lenguaje algebraico arma la frase, y la de ecuaciones de primer grado la resuelve. Si de verdad hacen falta dos letras libres, el camino es problemas con sistemas. ²

Ideas clave

• Siete pasos. Leer, identificar, nombrar, traducir, resolver, comprobar en el problema y contestar con una oración. ¹
• Una letra. Los otros números se escriben a partir de esa, según la relación del texto. ²
• Consecutivos. El siguiente entero suma 1. El siguiente par o impar suma 2. ³
• Traducción. "Es" pone el igual. El resto de la oración pone las operaciones. ¹
• Cierre. La respuesta tiene que servir en la historia y contestar lo que preguntaron. ¹

Ejemplos resueltos

La suma de cuatro veces un número

La suma de cuatro veces un número y 6 es 34. ¿Cuál es el número?

1. Buscas el número. Llámalo $n$. ¹
2. La oración ya está en una línea: cuatro veces el número, más 6, es 34. Queda $4n + 6 = 34$. ¹
3. Resta 6: $4n = 28$. Divide entre 4: $n = 7$.
4. Cuatro veces 7 es 28, y 28 más 6 es 34. La frase se cumple.
5. El número es 7.

Tres enteros seguidos

La suma de tres enteros consecutivos es 42. ¿Cuál es el mayor?

1. Buscas tres enteros seguidos. El primero es $n$, el segundo $n + 1$ y el tercero $n + 2$. ³
2. Su suma es 42: $n + (n + 1) + (n + 2) = 42$. ¹
3. Junta: $3n + 3 = 42$. Resta 3 y divide entre 3: $n = 13$.
4. Los enteros son 13, 14 y 15. Sumados dan 42, y cada uno sigue al anterior.
5. La pregunta pide el mayor. Es 15, no 13.

Dos edades con una letra

Lucía tiene 6 años más que su hermano. Dentro de 4 años, la suma de sus edades será 40. ¿Cuántos años tiene hoy el hermano?

1. Buscas la edad de hoy del hermano. Llámalo $x$. Lucía, hoy, es $x + 6$. ²
2. Dentro de 4 años cada uno suma 4. La oración es $(x + 4) + (x + 6 + 4) = 40$. ¹
3. Junta: $2x + 14 = 40$. Resta 14: $2x = 26$. Divide entre 2: $x = 13$.
4. Hoy el hermano tiene 13 y Lucía 19. Dentro de 4 años tendrán 17 y 23, y $17 + 23 = 40$.
5. El hermano tiene 13 años. Lucía tiene 19, pero eso no era lo preguntado.

Errores comunes

Usas dos letras y te quedas con una ecuación. Si el texto dice cómo se relacionan los números, el segundo se escribe con la misma letra. Dos letras libres piden dos condiciones, y eso ya es un sistema. ²

A los consecutivos pares les sumas 1. Par y siguiente par distan dos, igual que impar e impar. Sumar uno cambia la paridad y la ecuación describe otros números. ³

Entregas el primer valor aunque pregunten el mayor, o la edad de hoy cuando preguntan la de dentro de unos años. El álgebra puede estar bien y la oración final no. El último paso vuelve a leer la pregunta. ¹

Cómo lo pregunta el examen

El enunciado es una historia corta: números, edades, medidas o precios. No te dan la ecuación. El trabajo es nombrarla. Una letra para lo que buscan, las demás cantidades en función de esa, y un igual donde el texto dice "es", "suma" o "será". ^{1 2}

Si dice consecutivos, mira si son enteros cualquiera o pares o impares. Cualquiera: $n$, $n + 1$, $n + 2$. Pares o impares: $n$, $n + 2$, $n + 4$. La suma de esos tres es el total del enunciado. ³

La respuesta a veces no es la letra, sino otra cantidad del problema: el mayor, el de dentro de unos años, o la suma. Calcula la letra, arma el resto y contesta la pregunta en una oración. Comprueba con los datos del texto. Si la edad sale negativa o el total no cuadra, la traducción está mal, no solo el despeje. ¹

Resumen

• Lee, nombra una letra, traduce, resuelve, comprueba en el problema y contesta la pregunta.
• Con una ecuación, los otros números se escriben a partir de la misma letra.
• El consecutivo siguiente suma 1. El par o impar siguiente suma 2.
• "Es" coloca el igual. La frase de la izquierda coloca las operaciones.
• El número que sale tiene que servir en la historia y responder lo que preguntaron.