Ecuaciones de segundo grado y fórmula general

¿Cómo se resuelve una ecuación con $x$ al cuadrado?

Una ecuación de segundo grado, o cuadrática, tiene la forma $ax^2 + bx + c = 0$, con $a$ distinto de cero. Se distingue de una lineal porque aparece un término con la variable elevada a la segunda potencia. Sumar, restar, multiplicar y dividir no aíslan esa variable del mismo modo que en primer grado. Hacen falta otros métodos. ¹

El primero que conviene probar es la factorización, cuando el trinomio se parte fácil. El repaso del libro con $x^2 = 9$ lo lleva a $x^2 - 9 = 0$, lo factoriza como $(x - 3)(x + 3) = 0$ y obtiene $x = 3$ o $x = -3$. Cómo se factoriza un trinomio está en factorización. Si no se ve el producto, no fuerces ese camino. ¹

Cuando la ecuación ya es un cuadrado igual a un número, se usa la propiedad de la raíz cuadrada. Si $x^2 = k$, entonces $x = \sqrt{k}$ o $x = -\sqrt{k}$, que también se escribe $x = \pm \sqrt{k}$. Son dos soluciones: la raíz principal y su opuesto. Los pasos son dejar el cuadrado solo y con coeficiente 1, aplicar la propiedad, simplificar el radical y comprobar. Con $x^2 = 9$ sale $x = \pm 3$. Si el número no es cuadrado perfecto, el radical se queda. Un número negativo bajo una raíz cuadrada de reales no da solución real por este camino. ¹

La fórmula general cubre el resto. Para $ax^2 + bx + c = 0$, con $a$ distinto de cero,

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Es una ecuación: empieza por $x =$. Se escribe la cuadrática en forma estándar, se leen $a$, $b$ y $c$ con su signo, se sustituye, se simplifica y se comprueba cada resultado en la ecuación original. Si un término está del otro lado del igual, primero se pasa, porque ese signo entra en $b$ o en $c$. ²

El orden para elegir método es corto. Si factoriza fácil, factoriza: es lo más rápido. Si tiene la forma $ax^2 = k$ o $a(x - h)^2 = k$, usa la raíz cuadrada. Cualquier otra se resuelve con la fórmula general. ³

Ideas clave

• Forma. $ax^2 + bx + c = 0$, con $a$ distinto de cero. ¹
• Factorizar. Si el producto se ve pronto, se resuelve por factores. ^{1 3}
• Raíz. Si $x^2 = k$, entonces $x = \pm \sqrt{k}$. Son dos valores cuando $k$ es positivo. ¹
• Fórmula. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, y es una ecuación. ²
• Orden. Forma estándar, leer $a$, $b$ y $c$ con signo, sustituir, simplificar y comprobar. ^{2 3}

Ejemplos resueltos

Un cuadrado igual a 18

Resuelve $x^2 = 18$.

1. El cuadrado ya está solo y su coeficiente es 1. ¹
2. Por la propiedad de la raíz, $x = \sqrt{18}$ o $x = -\sqrt{18}$. ¹
3. $18 = 9 \cdot 2$, así que $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Las soluciones son $x = 3\sqrt{2}$ y $x = -3\sqrt{2}$.
4. $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. El opuesto al cuadrado da lo mismo. Las dos sirven.

Un trinomio que se parte

Resuelve $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. Busca dos números que multiplicados den 6 y sumados den $-5$: $-2$ y $-3$. ¹
2. Queda $(x - 2)(x - 3) = 0$. De ahí, $x - 2 = 0$ o $x - 3 = 0$. ¹
3. Las soluciones son $x = 2$ y $x = 3$.
4. Con 2: $4 - 10 + 6 = 0$. Con 3: $9 - 15 + 6 = 0$. El detalle de otros productos está en factorización.

La fórmula cuando no se ve el factor

Resuelve $x^2 - 4x - 2 = 0$.

1. Ya está en forma estándar. $a = 1$, $b = -4$, $c = -2$. ²
2. Sustituye: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2}$. ²
3. El radicando es $16 + 8 = 24$, y $24 = 4 \cdot 6$. $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.
4. Comprueba $2 + \sqrt{6}$. Su cuadrado es $4 + 4\sqrt{6} + 6$. Menos $4$ por el número es $4 + 4\sqrt{6} + 6 - 8 - 4\sqrt{6}$. Menos 2 deja $10 - 10 = 0$. El opuesto del radical cancela igual. Las dos soluciones sirven.

Errores comunes

Te quedas con la raíz positiva. Si $x^2 = k$ y $k$ es positivo, el opuesto también al cuadrado da $k$. Anotar solo $\sqrt{k}$ deja fuera la mitad de la solución. ¹

Lees $a$, $b$ y $c$ antes de igualar a cero. En $x^2 - 4x = 2$, el 2 está sumando del otro lado. En la forma estándar pasa como $-2$. Si lo tomas positivo, el radicando $b^2 - 4ac$ cambia. ²

Olvidas el denominador $2a$ o el signo de $-b$. La fórmula es una fracción completa, y $-b$ ya trae el menos. Si $b$ es negativo, $-b$ queda positivo. Escribir la fórmula sin el igual, como si fuera solo el radical, no es la ecuación del libro. ²

Cómo lo pregunta el examen

Hay ecuaciones que ya son un cuadrado igual a un número, o que llegan ahí al despejar. Aísla el cuadrado, saca las dos raíces y simplifica el radical si tiene cuadrado perfecto adentro. Comprueba las dos en la original. ¹

Otras se ven como producto. Si el trinomio se parte en enteros pequeños, factoriza y escribe una ecuación por cada factor. El método largo está en factorización. Si no se parte, no pierdas el tiempo: pasa a la fórmula. ³

La fórmula pide la forma $ax^2 + bx + c = 0$. Anota $a$, $b$ y $c$ con signo, sustituye, simplifica el radical y divide entre $2a$ al final, no antes de haber sumado el $c$ dentro de la raíz. Cada resultado se prueba en la ecuación del enunciado. ²

Resumen

• La forma estándar es $ax^2 + bx + c = 0$, con $a$ distinto de cero.
• Si se factoriza fácil, se factoriza y cada factor da una ecuación.
• Si $x^2 = k$, las soluciones son la raíz de $k$ y su opuesto.
• La fórmula es $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, escrita como ecuación.
• Antes de sustituir, todo pasa a un lado y se leen $a$, $b$ y $c$ con su signo.