El discriminante y la naturaleza de las raíces

¿Para qué sirve lo de adentro de la raíz?

La fórmula general de una ecuación $ax^2 + bx + c = 0$, con $a$ distinto de cero, es

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

El radicando, $b^2 - 4ac$, se llama discriminante. No hace falta terminar la fórmula para saber cuántas soluciones hay y de qué tipo. Basta calcular ese número. El desarrollo de la fórmula está en ecuaciones de segundo grado. ¹

El criterio, para esa forma estándar, es este. Si $b^2 - 4ac$ es positivo, hay dos soluciones reales. Si es cero, hay una solución real. Si es negativo, hay dos soluciones complejas. El mismo corte aparece en el resumen del capítulo. Cómo se opera con $a + bi$ está en números complejos. ^{1 2}

Conviene verlo en ecuaciones ya resueltas, sin copiar sus cuentas como ejercicio. En una cuyo discriminante dio 121, positivo, salieron dos reales. En una cuyo discriminante dio 0, salió una real: era un trinomio cuadrado perfecto. En una cuyo discriminante dio un negativo, salieron dos complejas. El signo alcanza. El valor solo importa cuando vas a simplificar la raíz de verdad. ¹

Para usarlo, la ecuación tiene que estar en forma estándar. Lees $a$, $b$ y $c$ con signo, escribes $b^2 - 4ac$ y sustituyes. Un $c$ negativo vuelve positivo el término $-4ac$, porque menos por menos es más. Olvidar el 4, o el signo de $c$, cambia el caso. ¹

Si el enunciado deja un parámetro, el discriminante es una expresión en esa letra. Pedir dos reales es pedir que la expresión sea positiva. Pedir una sola real es igualarla a cero. Pedir que no haya reales es pedir que sea negativa. Eso ya es una desigualdad o una ecuación sobre el parámetro, y se resuelve aparte. ¹

Ideas clave

• Qué es. El discriminante es $b^2 - 4ac$, lo de adentro de la raíz. ¹
• Positivo. Dos soluciones reales distintas. ^{1 2}
• Cero. Una solución real. ^{1 2}
• Negativo. Dos soluciones complejas, ninguna real. ^{1 2}
• Antes. La ecuación va en $ax^2 + bx + c = 0$, y $a$, $b$, $c$ entran con signo. ²

Ejemplos resueltos

Dos reales

¿Cuántas soluciones reales tiene $x^2 - 2x - 3 = 0$?

1. $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. ¹
2. El discriminante es $(-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$. ¹
3. 16 es positivo. Hay dos soluciones reales distintas. ²
4. De paso, 16 es cuadrado y la ecuación se factoriza como $(x - 3)(x + 1) = 0$, o sea $x = 3$ o $x = -1$. El conteo y las raíces coinciden.

Una real

¿Cuántas soluciones reales tiene $x^2 + 6x + 9 = 0$?

1. $a = 1$, $b = 6$, $c = 9$. ¹
2. El discriminante es $36 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$. ¹
3. Cero da una solución real. ²
4. Es $(x + 3)^2 = 0$, así que $x = -3$. Sustituir da $9 - 18 + 9 = 0$. Una raíz, no dos.

Un parámetro

¿Para qué $k$ la ecuación $x^2 - 4x + k = 0$ tiene una sola solución real?

1. $a = 1$, $b = -4$, $c = k$. ¹
2. El discriminante es $16 - 4k$. Una sola real pide que sea cero. ²
3. $16 - 4k = 0$ da $k = 4$.
4. Con $k = 4$ la ecuación es $x^2 - 4x + 4 = 0$, o $(x - 2)^2 = 0$. La solución real es $x = 2$, una sola. Si $k$ fuera menor que 4, $16 - 4k$ sería positivo y habría dos reales. Si fuera mayor, sería negativo y no habría reales. ¹

Errores comunes

Lees cero como "no hay solución". Cero es el caso de una raíz real. El caso sin reales es el discriminante negativo, el que deja un radicando que no es de los reales. ¹

Calcules $b^2 - c$ o $b^2 - ac$. El producto lleva el 4 y los tres datos. En $x^2 + x + 1 = 0$, $b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3$, negativo, dos complejas. Si olvidas el 4, $1 - 1 = 0$ y anotas una raíz real que no existe. ¹

Tomas $c$ sin el signo de la forma estándar. Si la ecuación es $x^2 + x = 1$, primero queda $x^2 + x - 1 = 0$ y $c = -1$. Con $c$ positivo el discriminante es $1 - 4 = -3$. Con el signo correcto es $1 + 4 = 5$, positivo, y sí hay dos reales. ^{1 2}

Cómo lo pregunta el examen

Un reactivo muestra varias ecuaciones y pide cuál tiene dos soluciones reales distintas. No las resuelvas todas. Pasa cada una a $ax^2 + bx + c = 0$, calcula $b^2 - 4ac$ y quédate con la de discriminante positivo. Cero es una. Negativo son dos complejas. ^{1 2}

Otro deja una letra, a menudo en el término independiente o en el de en medio, y pide los valores que dan dos reales, una, o ninguna. Escribe el discriminante en esa letra. Positivo, cero o negativo según pidan. Resuelve esa condición. Comprueba un valor de la respuesta y uno de afuera, sustituyendo en $b^2 - 4ac$. ¹

También piden el discriminante de una ecuación concreta, no el conteo. Ahí sí entregas el número, con su signo. $b$ al cuadrado siempre sale positivo o cero. El término $-4ac$ es el que puede restar o sumar, según el signo de $c$. ²

Resumen

• El discriminante es $b^2 - 4ac$, el radicando de la fórmula general.
• Si es positivo, hay dos soluciones reales distintas.
• Si es cero, hay una solución real.
• Si es negativo, hay dos soluciones complejas y ninguna real.
• $a$, $b$ y $c$ se leen en la forma estándar, con su signo, y el 4 no se omite.