Números complejos: suma, resta y multiplicación

¿Qué es un número complejo?

En la recta de los reales no hay un número cuyo cuadrado sea $-1$. Para las raíces de índice par de un negativo, que no son reales, hace falta otra unidad. Esa unidad se opera con las mismas reglas de un binomio, que están en polinomios, y con el cuidado extra de que su cuadrado vale $-1$. La raíz de un negativo se escribe con lo que ya viste en radicales. ¹

La unidad imaginaria $i$ es el número cuyo cuadrado es $-1$: $i^{2} = -1$. Si $b$ es un real positivo, $\sqrt{-b} = \sqrt{b}\, i$. Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe $a + bi$, con $a$ y $b$ reales. Si $b = 0$, el número es real. ¹

Ideas clave

• Suma y resta. Se suman o se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí, como términos semejantes. El resultado queda en forma estándar. Restar un complejo cambia el signo de sus dos partes. ²
• Producto. Se multiplican como binomios, cada término por cada término, y al final $i^{2}$ se sustituye por $-1$. ²
• Conjugado. El conjugado de $a + bi$ es $a - bi$. La parte real no cambia. El producto $(a - bi)(a + bi) = a^{2} + b^{2}$ es real. ^{3 4}
• Cociente. Se escriben numerador y denominador en forma estándar, se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador y se simplifica. Abajo queda un real. ³
• Potencias de $i$. $i^{1} = i$, $i^{2} = -1$, $i^{3} = -i$ y $i^{4} = 1$. El patrón se repite en bloques de cuatro. Como $i^{4} = 1$, $i^{n} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r}$, donde $q$ es el cociente de dividir $n$ entre 4 y $r$ es el residuo. ³
• Orden. En una expresión con conjugado, corchetes y resta, se resuelve de adentro hacia afuera. El conjugado se aplica antes de restar el paréntesis que lo contiene. ²

Ejemplos resueltos

Un producto y una resta

Calcula $(2 + i)(3 - 4i)$ y $(4 - i) - (1 + 2i)$.

1. Reparte el producto: $2 \cdot 3 + 2 \cdot (-4i) + i \cdot 3 + i \cdot (-4i) = 6 - 8i + 3i - 4i^{2}$. ²
2. Sustituye $i^{2} = -1$. El término $-4i^{2}$ vale $+4$. Queda $6 + 4 - 5i = 10 - 5i$. ¹
3. En la resta, el menos cambia las dos partes: $4 - i - 1 - 2i = 3 - 3i$. ²
4. Comprueba el producto: la parte real es $6 - 4(-1) = 10$, no $6 - 4$. Si hubieras tomado $i^{2} = 1$, la real habría quedado en 2.

Una potencia y un cociente

Calcula $i^{22}$ y $\frac{1 + i}{1 - i}$.

1. Divide 22 entre 4: $22 = 4 \cdot 5 + 2$. El residuo es 2, así que $i^{22} = i^{2} = -1$. ³
2. Para el cociente, multiplica por el conjugado del denominador, que es $1 + i$. ³
3. Arriba: $(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i$. Abajo: $(1 - i)(1 + i) = 1^{2} + 1^{2} = 2$. ⁴
4. Comprueba: $\frac{2i}{2} = i$. Es un imaginario puro, en forma estándar $0 + 1i$.

Errores comunes

Usar $i^{2} = 1$. La definición es $i^{2} = -1$. El término que trae $i^{2}$ cambia de signo al simplificar. ¹

Olvidar los productos cruzados. $(a + bi)(c + di)$ no es solo $ac + (bi)(di)$. También están $a(di)$ y $(bi)c$. ²

Cambiar el signo de la parte real al conjugar. El conjugado de $5 - i$ es $5 + i$, no $-5 + i$. ³

Creer que todo exponente impar de $i$ da $i$. Hay que mirar el residuo al dividir entre 4. Residuo 1 da $i$ y residuo 3 da $-i$. ³

Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta pide suma, resta o producto de dos complejos. En la resta, distribuye el menos a las dos partes. En el producto, escribe los cuatro términos y sustituye $i^{2}$ al final. El distractor que suma en lugar de multiplicar se nota porque no aparece un término con $i^{2}$. ²

Otra pide una potencia alta de $i$. Divide el exponente entre 4 y quédate con el residuo: 0 da 1, 1 da $i$, 2 da $-1$ y 3 da $-i$. ³

Si aparece una raya de fracción, multiplica por el conjugado del denominador. Si piden $z$ menos su conjugado, las partes reales se cancelan y queda el doble de la parte imaginaria, con el signo de la resta. El producto de $z$ por su conjugado es real: $a^{2} + b^{2}$. ⁴

Resumen

• $i^{2} = -1$, y $\sqrt{-b} = \sqrt{b}\, i$ si $b$ es positivo.
• Se suman y se restan parte real con parte real, e imaginaria con imaginaria.
• El producto es el de dos binomios, con $i^{2}$ sustituida por $-1$.
• El conjugado de $a + bi$ es $a - bi$, y su producto es $a^{2} + b^{2}$.
• Las potencias de $i$ se repiten cada 4. El residuo de dividir el exponente entre 4 dice el valor.