Simplificar y operar radicales

¿Cómo se simplifica un radical?

Cuando mides la diagonal de un cuaderno no sumas los lados y luego les sacas raíz: el radical no se reparte sobre una suma. El examen pide dejar la raíz lo más corta posible y, si hay varias, juntar solo las que quedaron iguales. El paso de raíz a exponente está en leyes de los exponentes. ¹

Si $n^{2} = m$ y $n \geq 0$, entonces $n$ es la raíz cuadrada de $m$, y es un número positivo. En $\sqrt[n]{a}$, $n$ es el índice. Si $b^{n} = a$, $b$ es una raíz $n$-ésima de $a$. Con índice par y radicando negativo, la raíz no es real. Con índice impar, la raíz es real para cualquier real. ¹

Ideas clave

• Producto y cociente. Para $n \geq 2$, $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ y, si $b \neq 0$, $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, cuando esas raíces son reales. La suma no tiene esa propiedad. ²
• Sacar potencias perfectas. Se busca el factor más grande del radicando que sea una potencia perfecta del índice, se separa el radical en un producto y se simplifica esa raíz. ²
• Forma simplificada. No quedan en el radicando potencias perfectas del índice, no quedan fracciones dentro del radical y no queda un radical en el denominador. ²
• Suma. Después de simplificar, se suman los coeficientes de los radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando. El radical no cambia. ²
• Conjugados. $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$. Con raíces, los términos cruzados se cancelan y cada raíz al cuadrado deja el radicando. ³
• Raíz de raíz. $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Una raíz de índice $m$ por fuera y otra de índice $n$ por dentro se escriben como una sola raíz de índice $mn$, porque los exponentes de las raíces se multiplican al convertirlas en potencias. Con variable, una raíz par pide valor absoluto si el exponente del radicando se cancela en un factor con signo libre. En estas páginas las variables se toman positivas, como pide el reactivo. ^{4 1}

Ejemplos resueltos

Tres raíces que sí se pueden juntar

Simplifica $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$.

1. Separa cuadrados: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ y $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. ²
2. Ya son semejantes. Los coeficientes: $2 + 3 - 4 = 1$.
3. El resultado es $\sqrt{3}$. El radicando 3 no se sumó con nadie.
4. Comprueba que no operaste $12 + 27 - 48$ dentro de una sola raíz. Eso daría otro número, y la propiedad del producto no autoriza esa suma. ²

Racionalizar y un producto de conjugados

Simplifica $\frac{8}{\sqrt{2}}$ y $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

1. Multiplica arriba y abajo por $\sqrt{2}$: $\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$. Abajo, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, no 4. ²
2. En el producto, usa la diferencia de cuadrados: $(\sqrt{7})^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 7 - 3 = 4$. ³
3. Los términos cruzados $\pm \sqrt{21}$ se cancelan. No queda radical.
4. Comprueba el tamaño: $4\sqrt{2}$ es un poco menos de 6, y $\frac{8}{1.4}$ también cae por ahí. El producto 4 es entero, como corresponde a una diferencia de enteros.

Errores comunes

Sumar radicandos. $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ no es $\sqrt{a + b}$. Primero se simplifica cada uno y solo después se ven los coeficientes. ²

Sacar el factor sin sacarle raíz. De $\sqrt{16 \cdot 3}$ sale 4, no 16. La raíz del cuadrado perfecto es la que abandona el radical. ²

Racionalizar y olvidar que el producto de la raíz por sí misma es el radicando. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ es 2. Si dejas el 2 abajo sin dividir, el denominador sigue teniendo número de más. ²

Sumar los índices de una raíz de raíz. Al pasar a exponentes, $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}}$. Los índices se multiplican. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta suma tres raíces. Simplifica cada radicando hasta que todos muestren el mismo factor adentro y resta el que trae signo menos. El distractor que mete la suma dentro de una sola raíz confunde producto con suma. ²

Otra pide racionalizar un denominador de una sola raíz: multiplica por esa raíz arriba y abajo, y simplifica el entero que quedó. Si el denominador es una suma de raíces, el factor que la racionaliza es el conjugado, y el producto es una diferencia de cuadrados. ³

Si hay variables y el enunciado dice que son positivas, puedes sacar las potencias pares sin valor absoluto. Una raíz por fuera de otra raíz se convierte en un solo índice, el producto de los dos. ^{1 4}

Resumen

• El índice dice qué potencia se busca. La raíz cuadrada principal es positiva.
• El producto y el cociente sí se separan en raíces. La suma no.
• Se simplifica sacando la potencia perfecta del índice.
• Se suman coeficientes solo entre radicales semejantes.
• En el denominador no se deja radical: se multiplica por la raíz o por el conjugado.