Formas indeterminadas y límites al infinito

¿Qué es una forma indeterminada?

Ya viste en límites que a veces sustituir no cierra la cuenta. En la fila del comedor, "nadie entre nadie" no dice cuántos platos tocan: los dos conteos se fueron a cero y la razón quedó sin decidir. OpenStax llama forma indeterminada del tipo 0/0 a ese caso, porque no se puede leer el comportamiento de $f(x)/g(x)$ sin más análisis. La notación no significa que estés dividiendo el número cero entre el número cero. Nombra un cociente de dos límites, y cada uno de esos límites es cero. ²

La estrategia de la sección 2.3 tiene tres pasos. Primero confirmas que de verdad es 0/0 y que las leyes no alcanzan. Después buscas una expresión igual a la original para todo $x$ de un intervalo que contenga al punto, salvo quizá el punto. Si hay polinomios, factorizas y cancelas. Si hay una resta con raíz cuadrada, multiplicas por el conjugado de esa resta. Si hay una fracción dentro de otra, la simplificas. Al final aplicas las leyes. El conjugado usa el producto de radicales $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$. ¹

Otra forma no es un cociente roto, sino un producto apretado. El teorema del emparedado dice: si $f$, $g$ y $h$ están definidas en un intervalo abierto alrededor de $a$, si $g(x)$ queda entre $f(x)$ y $h(x)$ en ese intervalo, y si $f$ y $h$ tienden al mismo número real $L$, entonces $g$ también tiende a $L$. En el círculo unitario el seno es una coordenada de un punto del círculo, así que queda entre $-1$ y $1$. Con eso se aprieta un producto que oscila. En la misma sección 2.3 el libro usa el emparedado sobre el círculo unitario y concluye el límite básico

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta} = 1$$

Ese 1 no sale de sustituir: en 0 la fórmula también se ve como 0/0. ^{3 5}

Cuando $x$ crece sin cota, el límite es otro objeto. De manera informal, si los valores de la función se acercan a un número $L$ cuando $x$ es suficientemente grande, se escribe $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$. La versión formal pide que para cada cercanía haya un tamaño a partir del cual todos los $x$ más grandes dejen a $f(x)$ dentro de esa cercanía. Las leyes algebraicas y el emparedado también valen para estos límites. ⁴

Ideas clave

• 0/0 no es el resultado. Es la etiqueta de un cociente de límites nulos. Hay que reescribir la función, igual para los $x$ distintos del punto, y entonces sí usar las leyes. ^{2 1}
• Dos reescrituras. Polinomios: factor común y cancelación. Resta con raíz: conjugado. ¹
• Emparedado. Si la función queda entre dos que tienden a $L$, ella tiende a $L$. Sirve cuando un factor oscila y no tiene límite propio, como el seno de $1/x$. ³
• Seno partido por el ángulo. $\lim_{\theta \to 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta} = 1$. Si el ángulo es $kx$, el factor $k$ sale al reescribir $\frac{\operatorname{sen}(kx)}{x} = k \cdot \frac{\operatorname{sen}(kx)}{kx}$. ³
• Al infinito. $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ cuando $f(x)$ se acerca a $L$ para $x$ grande. En un cociente de polinomios se divide numerador y denominador entre la potencia más alta. Si el denominador tiene mayor grado, el cociente se acerca a 0. Si los grados coinciden, el límite es el cociente de los coeficientes principales. ⁴

Ejemplos resueltos

Conjugado de una raíz

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 16} - 4}{x}$.

1. Sustituir da $\frac{4 - 4}{0}$, o sea 0/0. El paso que toca es el conjugado, no la factorización de un polinomio. ¹
2. Multiplica por $\sqrt{x + 16} + 4$ arriba y abajo. El numerador queda $(x + 16) - 16 = x$. ¹
3. Para $x \neq 0$ el cociente es $\frac{1}{\sqrt{x + 16} + 4}$. El límite en 0 es $\frac{1}{4 + 4} = \frac{1}{8}$.

Grados al infinito

Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{8x^{2} - x}{2x^{2} + 7}$ y $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^{2} + 5}$.

1. En el primero los grados coinciden. Divide entre $x^{2}$: $\frac{8 - 1/x}{2 + 7/x^{2}}$. Cuando $x$ crece, $1/x$ y $1/x^{2}$ se acercan a 0, que es un límite al infinito con valor finito. Queda $\frac{8}{2} = 4$. ⁴
2. En el segundo el denominador tiene mayor grado. Divide entre $x^{2}$: $\frac{3/x + 1/x^{2}}{1 + 5/x^{2}}$, que se acerca a $\frac{0}{1} = 0$. No es infinito: el de abajo crece más. ⁴

El seno con un coeficiente

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(4x)}{x}$.

1. Otra vez 0/0. Escribe $\frac{\operatorname{sen}(4x)}{x} = 4 \cdot \frac{\operatorname{sen}(4x)}{4x}$. ³
2. Cuando $x$ tiende a 0, el ángulo $4x$ también tiende a 0. El segundo factor tiende a 1. ³
3. El límite es $4 \cdot 1 = 4$. No es $\frac{1}{4}$: el 4 que estaba dentro del seno sale multiplicando, no dividiendo.

Errores comunes

Si ves 0/0, no concluyas que el límite es 0. La sección 4.8 insiste: no estás dividiendo cero entre cero. Estás nombrando un caso que pide otra expresión. ²

En una raíz, no factorices como si fuera $x^{2} - a^{2}$ sin el conjugado. El numerador es una resta de raíces, y el producto notable que la convierte en una diferencia de cuadrados es el conjugado. ¹

En $\frac{\operatorname{sen}(kx)}{x}$, no dejes el límite básico en 1 sin el coeficiente. Hay que fabricar $kx$ en el denominador, y eso multiplica por $k$. Si inviertes y pones $\frac{1}{k}$, leíste el ángulo al revés. ³

Al infinito, no mires el término constante. Manda el grado. Mayor grado abajo: 0. Mismos grados: coeficientes principales. Un resultado infinito solo aparece si el de arriba crece más, y esa no es la opción cuando el denominador es el de mayor grado. ⁴

Cómo lo pregunta el examen

La forma directa es un límite. Antes de operar, sustituye en silencio. 0/0 con polinomios: cancela. 0/0 con raíz: conjugado. 0/0 con seno: fabrica el cociente del límite básico. Un infinito en la flecha: divide entre la potencia mayor y compara grados. ^{1 3 4}

Las opciones suelen incluir el cociente de constantes, el cociente de coeficientes principales, 0 e infinito. Esas cuatro corresponden a cuatro lecturas distintas. Quédate con la que sale después de reescribir, no con la que sale de mirar el primer término. ⁴

Resumen

• 0/0 es una etiqueta, no el valor del límite.
• Polinomios: factoriza y cancela. Raíz: conjugado.
• El emparedado cierra un límite cuando la función queda entre dos que van al mismo $L$.
• $\frac{\operatorname{sen}(kx)}{x}$ tiende a $k$ cuando $x$ tiende a 0.
• Al infinito, divide entre la potencia mayor: grados iguales dan el cociente de coeficientes, y mayor grado abajo da 0.