Continuidad de una función

¿Cuándo una función es continua en un punto?

Dibujar sin levantar el lápiz es la imagen del intervalo. En un solo punto la prueba es más estricta, y es la que usa el examen. Para que $f$ sea continua en $a$ tienen que cumplirse tres cosas a la vez: $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, y ese límite es igual a $f(a)$. El glosario lo dice con las mismas tres condiciones. Si estudiaste cuándo una gráfica sube, baja o se rompe, aquí se separa solo la tercera idea: el empalme con el límite. ^{1 4}

Las discontinuidades se clasifican. Es removible cuando se puede corregir el valor o tapar el hueco para que las tres condiciones cuadren. Es de salto cuando los límites por la izquierda y por la derecha existen, pero no son iguales: la gráfica brinca. Es infinita cuando la función crece o cae sin cota al acercarse al punto, como un denominador que se anula y no se cancela. Si el intervalo deja fuera los extremos, hay que comprobar la continuidad en cada número de adentro. Si el intervalo incluye los extremos, en el extremo izquierdo basta la continuidad por la derecha y en el derecho basta la de la izquierda. ^{2 3}

En una función partida, el candidato a problema es el valor donde cambia la fórmula. Calculas el límite por cada lado con su pieza. Si coinciden, ese número común es el límite. Para que haya continuidad, la pieza que incluye el punto, o el valor que definas, tiene que ser ese mismo número. De ahí sale la $k$.

Ideas clave

• Tres condiciones. Definida en $a$, límite existente en $a$, y límite igual al valor. Las tres. ¹
• Tipos. Removible: se arregla el valor. De salto: los laterales existen y difieren. Infinita: la función no se acerca a un número real. ²
• Polinomios y valor absoluto. Un polinomio cumple las tres en cualquier punto, porque su límite es el valor. $|x|$ también: en 0 los dos lados van a 0 y $|0| = 0$. ¹
• Cociente. $\frac{1}{x}$ no está definida en 0, así que no es continua en 0. Un cociente que se cancela y deja un hueco, como $\frac{x^{2} - x}{x} = x - 1$ solo para $x \neq 0$, tampoco está definido en 0: el límite existe y el valor no. ^{1 2}
• Partida. Iguala los dos lados para hallar el límite. Iguala ese límite con el valor de la pieza que sí incluye el punto, y despeja $k$. ¹

Ejemplos resueltos

La k que empalma

$$f(x) = \begin{cases} x^{2} + k & x < 1 \\ 4x - 1 & x \geq 1 \end{cases}$$

¿Qué $k$ hace continua a $f$ en $x = 1$?

1. La pieza de la derecha incluye el 1, así que $f(1) = 4(1) - 1 = 3$. La primera condición ya tiene un número. ¹
2. Por la izquierda, $x^{2} + k$ tiende a $1 + k$. Por la derecha, $4x - 1$ tiende a 3. Para que el límite exista, $1 + k = 3$, luego $k = 2$. ¹
3. Con $k = 2$, el límite es 3 y $f(1) = 3$. Las tres condiciones cierran. Si tomaras $k = 3$, igualarías mal: estarías sumando $k$ al 1 y pidiendo que dé 4, no 3.

Por qué se rompe en la gráfica

La curva llega a altura 2 por la izquierda de $x = 1$ y a altura 5 por la derecha. Hay un punto en $(1, 5)$.

1. Los laterales existen: 2 y 5. No son iguales, así que el límite no existe. ²
2. Falla la segunda condición. No importa que $f(1)$ esté pintado. La discontinuidad es de salto, no un hueco removible. ²
3. No es el caso "el límite existe y difiere de $f(1)$": aquí el límite ni siquiera existe. Tampoco es "no está definida a la derecha": la rama derecha sí se dibuja.

Cuáles sobreviven en cero

A. $a(x) = x^{2} + 5$. B. $b(x) = \frac{4}{x}$. C. $c(x) = |x|$. D. $d(x) = \frac{x^{2} + 2x}{x}$.

1. A es un polinomio: continua en 0, y $a(0) = 5$. ¹
2. B no está definida en 0. C sí: $c(0) = 0$ y los dos lados llegan a 0. ¹
3. D se simplifica a $x + 2$ solo si $x \neq 0$. En 0 el denominador es cero, así que $d(0)$ no existe. Aunque el límite sea $2$, falla la definición. Quedan A y C. ²

Errores comunes

No basta con que el límite exista. Si $f(a)$ es otro número, o no existe, la función no es continua en $a$. El hueco rellenable es una discontinuidad removible, no un punto continuo. ^{1 2}

No marques salto cuando los laterales coinciden y el punto está en otra altura. Eso es removible: el límite sí existe. El salto pide laterales distintos. ²

En la partida, no iguales las dos fórmulas sin mirar cuál incluye el punto. El valor $f(a)$ sale de la pieza con $\geq$ o con la igualdad. La otra pieza solo aporta su límite. Si despejas $k$ igualando las fórmulas en un punto que una de ellas no usa, la $k$ queda corrida.

$|x|$ tiene un pico y sigue siendo continua. No confundas "no tiene derivada" con "no es continua". Aquí solo se pide el empalme del valor con el límite. ¹

Cómo lo pregunta el examen

Si piden $k$, escribe tres renglones: valor en el punto, límite por la izquierda, límite por la derecha. La ecuación es "límite izquierdo = límite derecho = valor". Una sola igualdad bien elegida basta cuando una pieza ya da el valor. ¹

En la gráfica, lee el motivo, no solo "no es continua". Laterales distintos: salto. Límite existente distinto del punto, o punto ausente: no se cumple la igualdad o la definición. Rama que se corta porque el dominio se acaba: eso es otra frase, y no la marques si la curva sigue del otro lado. ²

En la selección, tacha la que divide entre cero en el punto y la que, ya simplificada, sigue sin valor ahí. Quédate con polinomios y con el valor absoluto. ¹

Resumen

• Continua en $a$: definida, con límite, y límite igual al valor.
• Removible: se puede corregir el valor. Salto: laterales distintos. Infinita: sin límite real.
• En una partida, la $k$ iguala el lado que no incluye el punto con el valor del lado que sí lo incluye.
• Un polinomio y $|x|$ son continuos en 0. $\frac{1}{x}$ no.
• Un cociente no definido en el punto no es continuo ahí, aunque el límite exista.